sdt gaussian tutorial

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%22marimo%3D%3D0.23.9%22%2C%20%22matplotlib%3D%3D3.10.6%22%2C%20%22numpy%3D%3D2.2.6%22%5D%0A%23%20%0A%23%20%5Btool.marimo.export%5D%0A%23%20lock_kind%20%3D%20%22observed%22%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.23.9%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22full%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20math%0A%20%20%20%20from%20statistics%20import%20NormalDist%0A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%0A%20%20%20%20normal%20%3D%20NormalDist()%0A%0A%20%20%20%20def%20normal_pdf(x%2C%20mean%3D0.0%2C%20sd%3D1.0)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.exp(-0.5%20*%20((x%20-%20mean)%20%2F%20sd)%20**%202)%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sd%20*%20np.sqrt(2.0%20*%20np.pi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20return%20mo%2C%20normal%2C%20normal_pdf%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.Html(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cstyle%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Aroot%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20--ink%3A%20%23182338%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20--muted%3A%20%235f6b7c%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20--paper%3A%20%23f7f4ed%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20--card%3A%20%23ffffff%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20--noise%3A%20%232b6cb0%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20--signal%3A%20%23d97706%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20--criterion%3A%20%237c3aed%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20--line%3A%20%23dde3ea%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20body%20%7B%20background%3A%20var(--paper)%3B%20color%3A%20var(--ink)%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.tutorial-hero%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3A%200%200%201.2rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20padding%3A%202.1rem%202.3rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border-radius%3A%2018px%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3A%20white%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20background%3A%20linear-gradient(125deg%2C%20%2317233a%2C%20%23293d61)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20box-shadow%3A%200%2012px%2034px%20rgba(24%2C%2035%2C%2056%2C%20.12)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.tutorial-hero%20h1%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3A%200%200%20.55rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3A%20%23ffffff%20!important%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20font-size%3A%202.25rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.tutorial-hero%20p%20%7B%20margin%3A%200%3B%20color%3A%20%23dbe4f2%3B%20line-height%3A%201.55%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.lesson-card%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20padding%3A%201.15rem%201.35rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3A%20.7rem%200%201.15rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border%3A%201px%20solid%20var(--line)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border-radius%3A%2014px%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20background%3A%20var(--card)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.lesson-card%20h3%20%7B%20margin-top%3A%20.1rem%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.formula-card%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20padding%3A%201rem%201.25rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border-left%3A%204px%20solid%20var(--criterion)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border-radius%3A%205px%2012px%2012px%205px%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20background%3A%20%23f4f0ff%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.answer-card%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20padding%3A%201rem%201.25rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border-left%3A%204px%20solid%20%2316846b%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border-radius%3A%205px%2012px%2012px%205px%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20background%3A%20%23edf9f5%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.warning-card%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20padding%3A%20.85rem%201.1rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border-left%3A%204px%20solid%20%23d97706%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border-radius%3A%205px%2012px%2012px%205px%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20background%3A%20%23fff7e8%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.controls-row%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20display%3A%20grid%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20grid-template-columns%3A%20repeat(3%2C%20minmax(0%2C%201fr))%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3A%20.8rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20align-items%3A%20end%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.metric-row%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20display%3A%20grid%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20grid-template-columns%3A%20repeat(4%2C%20minmax(0%2C%201fr))%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3A%20.65rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3A%20.8rem%200%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.metric%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20padding%3A%20.72rem%20.8rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border%3A%201px%20solid%20var(--line)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border-radius%3A%2010px%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20background%3A%20white%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.metric%20strong%20%7B%20display%3A%20block%3B%20font-size%3A%201.22rem%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.metric%20span%20%7B%20color%3A%20var(--muted)%3B%20font-size%3A%20.78rem%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.small-note%20%7B%20color%3A%20var(--muted)%3B%20font-size%3A%20.88rem%3B%20line-height%3A%201.55%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20table%20%7B%20width%3A%20100%25%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20th%2C%20td%20%7B%20padding%3A%20.45rem%20.6rem%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F*%20Editable%20WASM%20normally%20caps%20interactive%20cell%20outputs%20at%20610px%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20which%20creates%20nested%20scrollbars.%20Let%20the%20document%20itself%20scroll.%20*%2F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.marimo-cell.interactive%20.console-output-area%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.marimo-cell.interactive%20.output-area%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20max-height%3A%20none%20!important%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20overflow%3A%20visible%20!important%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%40media%20(max-width%3A%20700px)%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.controls-row%2C%20.metric-row%20%7B%20grid-template-columns%3A%201fr%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.tutorial-hero%20%7B%20padding%3A%201.5rem%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fstyle%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22tutorial-hero%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%3Ch1%3EWhy%20is%20z(H)%20%E2%88%92%20z(FA)%20equal%20to%20d%E2%80%B2%3F%3C%2Fh1%3E%0A%20%20%20%20%20%20%3Cp%3EAn%20interactive%2C%20equal-variance%20Gaussian%20signal-detection%20tutorial.%20We%20begin%20with%20right-tail%20hit%20and%20false-alarm%20rates%2C%20watch%20the%20inverse-normal%20transform%20remove%20the%20criterion%2C%20and%20finish%20with%20criterion%2C%20reversed%20evidence%2C%20and%20finite%20corrections%20for%20rates%20of%200%20or%201.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%0A%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20What%20do%20%24%5CPhi%24%20and%20%24z%24%20do%3F%0A%0A%20%20%20%20The%20standard%20normal%20**density**%20is%20the%20bell%20curve.%20Its%20**CDF**%2C%0A%20%20%20%20%24%5CPhi(q)%3DP(Z%5Cle%20q)%24%2C%20always%20counts%20area%20in%20the%20usual%20direction%3A%20from%0A%20%20%20%20%24-%5Cinfty%24%20up%20to%20%24q%24.%20The%20inverse%20CDF%2C%20%24z(p)%3D%5CPhi%5E%7B-1%7D(p)%24%2C%20reverses%20that%0A%20%20%20%20lookup%3A%20give%20it%20a%20proportion%20%24p%24%2C%20and%20it%20returns%20the%20location%20whose%20area%0A%20%20%20%20to%20the%20**left**%20is%20%24p%24.%0A%0A%20%20%20%20Hit%20and%20false-alarm%20rates%20are%20different%3A%20they%20are%20areas%20counted%20from%20a%0A%20%20%20%20criterion%20out%20to%20%24%2B%5Cinfty%24.%20The%20first%20key%20trick%20is%20to%20reflect%20that%0A%20%20%20%20right-tail%20area%20across%20zero.%20An%20area%20%24R%24%20to%20the%20right%20of%20%24%2Ba%24%20is%20the%20same%0A%20%20%20%20size%20as%20the%20area%20%24R%24%20to%20the%20left%20of%20%24-a%24.%20Therefore%20the%20ordinary%20inverse%0A%20%20%20%20CDF%20assigns%20the%20number%20%24R%24%20the%20location%20%24z(R)%3D-a%24.%0A%0A%20%20%20%20Move%20the%20right-tail%20proportion%20below.%20The%20two%20equal%20shaded%20tails%20and%20the%0A%20%20%20%20reflected%20locations%20%24%2Ba%24%20and%20%24-a%24%20are%20marked%20in%20every%20view.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20cdf_probability%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D0.99%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Right-tail%20proportion%20R%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20cdf_probability%0A%20%20%20%20return%20(cdf_probability%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(cdf_probability%2C%20mo%2C%20normal%2C%20normal_pdf%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_r%20%3D%20cdf_probability.value%0A%20%20%20%20_zr%20%3D%20normal.inv_cdf(_r)%0A%20%20%20%20_a%20%3D%20-_zr%0A%20%20%20%20_x%20%3D%20np.linspace(-3.5%2C%203.5%2C%20700)%0A%20%20%20%20_pdf%20%3D%20normal_pdf(_x)%0A%20%20%20%20_cdf%20%3D%20np.array(%5Bnormal.cdf(float(_value))%20for%20_value%20in%20_x%5D)%0A%20%20%20%20_probs%20%3D%20np.linspace(0.001%2C%200.999%2C%20700)%0A%20%20%20%20_probits%20%3D%20np.array(%5Bnormal.inv_cdf(float(_value))%20for%20_value%20in%20_probs%5D)%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%203%2C%20figsize%3D(12%2C%203.25))%0A%20%20%20%20_fig.patch.set_facecolor(%22%23ffffff%22)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.plot(_x%2C%20_pdf%2C%20color%3D%22%23243b64%22%2C%20linewidth%3D2.2)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.fill_between(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x%2C%200%2C%20_pdf%2C%20where%3D_x%20%3C%3D%20_zr%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20alpha%3D0.28%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22usual%20left-tail%20area%20%24R%3D%7B_r%3A.2f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.fill_between(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x%2C%200%2C%20_pdf%2C%20where%3D_x%20%3E%3D%20_a%2C%20color%3D%22%23d97706%22%2C%20alpha%3D0.28%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22right-tail%20rate%20%24R%3D%7B_r%3A.2f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.axvline(_zr%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.7)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.axvline(_a%2C%20color%3D%22%23d97706%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.7)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_zr%20-%200.06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.34%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22z(R)%20%3D%20%7B_zr%3A.2f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20va%3D%22bottom%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%235b21b6%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D8.6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3D%7B%22facecolor%22%3A%20%22white%22%2C%20%22edgecolor%22%3A%20%22none%22%2C%20%22alpha%22%3A%200.76%7D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_a%20%2B%200.06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.34%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22cutoff%20a%20%3D%20%7B_a%3A.2f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22left%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20va%3D%22bottom%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23b45309%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D8.6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3D%7B%22facecolor%22%3A%20%22white%22%2C%20%22edgecolor%22%3A%20%22none%22%2C%20%22alpha%22%3A%200.76%7D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Reflect%20a%20right%20tail%20into%20a%20left%20tail%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22standard%20score%20q%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set_yticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.legend(loc%3D%22upper%20center%22%2C%20bbox_to_anchor%3D(0.5%2C%20-0.20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D7.6)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.plot(_x%2C%20_cdf%2C%20color%3D%22%23243b64%22%2C%20linewidth%3D2.2)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.plot(%5B_x%5B0%5D%2C%20_zr%5D%2C%20%5B_r%2C%20_r%5D%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20linestyle%3D%22--%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.plot(%5B_zr%2C%20_zr%5D%2C%20%5B0%2C%20_r%5D%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20linestyle%3D%22--%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.scatter(%5B_zr%5D%2C%20%5B_r%5D%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20zorder%3D3)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.plot(%5B_x%5B0%5D%2C%20_a%5D%2C%20%5B1%20-%20_r%2C%201%20-%20_r%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23d97706%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.scatter(%5B_a%5D%2C%20%5B1%20-%20_r%5D%2C%20color%3D%22%23d97706%22%2C%20zorder%3D3)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Drf%22CDF%3A%20%24%5CPhi(%7B_zr%3A.2f%7D)%3D%7B_r%3A.2f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22standard%20score%20q%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22left-tail%20probability%20p%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(-0.03%2C%201.03)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.plot(_probs%2C%20_probits%2C%20color%3D%22%23243b64%22%2C%20linewidth%3D2.2)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.plot(%5B0%2C%20_r%5D%2C%20%5B_zr%2C%20_zr%5D%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20linestyle%3D%22--%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.plot(%5B_r%2C%20_r%5D%2C%20%5B-3.5%2C%20_zr%5D%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20linestyle%3D%22--%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.scatter(%5B_r%5D%2C%20%5B_zr%5D%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20zorder%3D3)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dr%22Inverse%20CDF%3A%20%24z(R)%3D%5CPhi%5E%7B-1%7D(R)%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22probability%20p%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22standard%20score%20q%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(-0.03%2C%201.03)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(-3.5%2C%203.5)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20for%20_axis%20in%20_axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.spines%5B%5B%22top%22%2C%20%22right%22%5D%5D.set_visible(False)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.grid(alpha%3D0.13)%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout(rect%3D(0%2C%200.08%2C%201%2C%201))%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Start%20at%20the%20orange%20cutoff%20%24a%3D%7B_a%3A.3f%7D%24%20and%20count%20**backward%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20from%20%24%2B%5Cinfty%24**%3A%20the%20orange%20right%20tail%20has%20proportion%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24R%3D%7B_r%3A.2f%7D%24.%20The%20%24z%24%20function%20does%20not%20directly%20count%20from%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20right%2C%20so%20reflect%20the%20picture.%20The%20same%20proportion%20lies%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20between%20%24-%5Cinfty%24%20and%20the%20symmetric%20purple%20point%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24-a%3D%7B_zr%3A.3f%7D%24.%20Thus%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24R%3D1-%5CPhi(a)%3D%5CPhi(-a)%20%5Cquad%5CLongrightarrow%5Cquad%20z(R)%3D-a.%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20This%20does%20**not**%20change%20the%20probability.%20It%20only%20expresses%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20right-tail%20proportion%20in%20the%20left-counting%20coordinate%20system%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20used%20by%20the%20ordinary%20CDF%20and%20inverse%20CDF.%20That%20reflection%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20whole%20reason%20a%20right-tail%20rate%20produces%20the%20negative%20of%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20its%20standardized%20cutoff.%20It%20works%20on%20**either%20side%20of%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mean**%2C%20not%20only%20in%20the%20picture%20currently%20shown%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20If%20%24a%3E0%24%2C%20the%20criterion%20is%20right%20of%20the%20mean.%20The%20right%20tail%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20is%20below%20%240.5%24%2C%20and%20its%20reflected%20z-value%20%24-a%24%20is%20negative.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20If%20%24a%3D0%24%2C%20the%20criterion%20is%20at%20the%20mean.%20The%20right%20tail%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%240.5%24%2C%20and%20%24z(0.5)%3D0%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20If%20%24a%3C0%24%2C%20the%20criterion%20is%20left%20of%20the%20mean.%20The%20right%20tail%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20is%20above%20%240.5%24%2C%20and%20its%20reflected%20z-value%20%24-a%24%20is%20positive.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Drag%20%24R%24%20through%20%240.5%24%20to%20watch%20the%20orange%20cutoff%20and%20purple%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z-location%20swap%20sides%20continuously.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Begin%20at%20%24d'%3D0%24%3A%20hit%20rate%20and%20false-alarm%20rate%0A%0A%20%20%20%20Call%20the%20blue%20distribution%20**A%20(noise%20only)**%20and%20the%20orange%20distribution%0A%20%20%20%20**B%20(signal)**.%20On%20every%20trial%2C%20the%20observer%20says%20**%E2%80%9Cyes%2C%20signal%E2%80%9D%20when%20the%0A%20%20%20%20evidence%20%24X%24%20is%20greater%20than%20the%20criterion%20%24%5Clambda%24**.%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20**hit%20rate**%20%24H_R%24%20is%20the%20proportion%20of%20B%2Fsignal%20trials%20that%20land%20to%0A%20%20%20%20%20%20the%20right%20of%20%24%5Clambda%24.%20In%20simple%20words%3A%20*when%20the%20signal%20was%20present%2C%0A%20%20%20%20%20%20how%20often%20did%20the%20observer%20say%20yes%3F*%0A%20%20%20%20-%20The%20**false-alarm%20rate**%20%24FA_R%24%20is%20the%20proportion%20of%20A%2Fnoise%20trials%20that%0A%20%20%20%20%20%20land%20to%20the%20right%20of%20%24%5Clambda%24.%20In%20simple%20words%3A%20*when%20there%20was%20no%0A%20%20%20%20%20%20signal%2C%20how%20often%20did%20the%20observer%20nevertheless%20say%20yes%3F*%0A%0A%20%20%20%20Both%20are%20therefore%20right-tail%20areas%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20H_R%3DP(X_B%3E%5Clambda)%2C%20%5Cqquad%20FA_R%3DP(X_A%3E%5Clambda).%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Press%20**Set%20both%20shifts%20to%200**%20to%20begin.%20A%20and%20B%20then%20lie%20exactly%20on%20top%20of%0A%20%20%20%20one%20another%2C%20so%20their%20shaded%20tails%E2%80%94and%20therefore%20%24H_R%24%20and%20%24FA_R%24%E2%80%94have%20the%0A%20%20%20%20same%20value.%20The%20exact%20current%20values%20are%20printed%20immediately%20below%20the%0A%20%20%20%20controls%20and%20inside%20the%20figure.%0A%0A%20%20%20%20The%20equal%20variances%20are%20essential%3A%20they%20put%20both%20standardized%20cutoffs%20on%0A%20%20%20%20the%20same%20scale.%20We%20use%20%24%5Csigma%3D1%24%20here%2C%20so%20a%20one-unit%20horizontal%20movement%0A%20%20%20%20is%20a%20one-standard-deviation%20movement.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20reset_dprime%20%3D%20mo.ui.button(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_click%3Dlambda%20count%3A%20count%20%2B%201%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Set%20both%20shifts%20to%200%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%22Put%20A%20and%20B%20back%20on%20top%20of%20one%20another%2C%20making%20d%E2%80%B2%20zero%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20response_cutoff%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-2.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D2.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22Evidence-axis%20criterion%20%24%5Clambda%24%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22(the%20right-tail%20yes%2Fno%20cutoff)%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20reset_dprime%2C%20response_cutoff%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20reset_dprime)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Referencing%20the%20button%20makes%20this%20cell%20rerun%20after%20a%20click%2C%20creating%20two%0A%20%20%20%20%23%20new%20sliders%20whose%20frontend%20and%20Python%20values%20are%20both%20exactly%20zero.%0A%20%20%20%20_reset_count%20%3D%20reset_dprime.value%0A%20%20%20%20signal_shift%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-2.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D2.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Shift%20B%20(signal)%3A%20%24%5Cmu_B%2F%5Csigma%24%20%E2%80%94%20try%20moving%20right%20to%20%24%2B1%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20noise_shift%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-2.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D2.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Shift%20A%20(noise)%3A%20%24%5Cmu_A%2F%5Csigma%24%20%E2%80%94%20try%20moving%20left%20to%20%24-1%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20noise_shift%2C%20signal_shift%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20noise_shift%2C%20reset_dprime%2C%20response_cutoff%2C%20signal_shift)%3A%0A%20%20%20%20main_controls%20%3D%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22**Build%20%24d'%24%20from%20two%20visible%20movements%2C%20one%20curve%20at%20a%20time.**%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20reset_dprime%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20widths%3D%5B3%2C%201%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20align%3D%22end%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20wrap%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20First%20leave%20both%20shifts%20at%20zero.%20Then%20try%20**B%20%3D%20%2B1**%20while%20A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20stays%20at%20zero.%20Reset%2C%20and%20try%20**A%20%3D%20-1**%20while%20B%20stays%20at%20zero.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Finally%20move%20both.%20Each%20slider%20advances%20in%20quarter-standard-%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20deviation%20steps%2C%20so%20the%20suggested%20values%20are%20easy%20to%20select.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20criterion%20is%20independent%20of%20those%20movements.%20Plots%20update%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20when%20you%20release%20a%20handle%2C%20avoiding%20continuous%20WASM%20redraws%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20while%20dragging.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20signal_shift%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20noise_shift%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20response_cutoff%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D0.65%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(main_controls%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(noise_shift%2C%20signal_shift)%3A%0A%20%20%20%20mu_signal%20%3D%20signal_shift.value%0A%20%20%20%20mu_noise%20%3D%20noise_shift.value%0A%20%20%20%20polarity%20%3D%201%20if%20mu_signal%20%3E%3D%20mu_noise%20else%20-1%0A%20%20%20%20return%20mu_noise%2C%20mu_signal%2C%20polarity%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mu_noise%2C%20mu_signal%2C%20normal%2C%20polarity%2C%20response_cutoff)%3A%0A%20%20%20%20cutoff%20%3D%20response_cutoff.value%0A%0A%20%20%20%20%23%20Because%20sigma%3D1%20and%20the%20response%20is%20X%20%3E%20cutoff%3A%0A%20%20%20%20hit_right%20%3D%20normal.cdf(mu_signal%20-%20cutoff)%0A%20%20%20%20false_alarm_right%20%3D%20normal.cdf(mu_noise%20-%20cutoff)%0A%20%20%20%20z_hit_right%20%3D%20normal.inv_cdf(hit_right)%0A%20%20%20%20z_false_alarm_right%20%3D%20normal.inv_cdf(false_alarm_right)%0A%20%20%20%20dprime_signed%20%3D%20z_hit_right%20-%20z_false_alarm_right%0A%20%20%20%20criterion_right%20%3D%20-0.5%20*%20(z_hit_right%20%2B%20z_false_alarm_right)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Reorient%20evidence%20so%20that%20larger%20values%20always%20favor%20signal.%0A%20%20%20%20hit_oriented%20%3D%20hit_right%20if%20polarity%20%3D%3D%201%20else%201.0%20-%20hit_right%0A%20%20%20%20false_alarm_oriented%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20false_alarm_right%20if%20polarity%20%3D%3D%201%20else%201.0%20-%20false_alarm_right%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20z_hit_oriented%20%3D%20normal.inv_cdf(hit_oriented)%0A%20%20%20%20z_false_alarm_oriented%20%3D%20normal.inv_cdf(false_alarm_oriented)%0A%20%20%20%20dprime_oriented%20%3D%20z_hit_oriented%20-%20z_false_alarm_oriented%0A%20%20%20%20criterion_oriented%20%3D%20-0.5%20*%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z_hit_oriented%20%2B%20z_false_alarm_oriented%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20criterion_oriented%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20criterion_right%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cutoff%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dprime_oriented%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dprime_signed%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20false_alarm_oriented%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20false_alarm_right%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hit_oriented%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hit_right%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z_false_alarm_right%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z_hit_right%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20criterion_right%2C%0A%20%20%20%20cutoff%2C%0A%20%20%20%20dprime_signed%2C%0A%20%20%20%20false_alarm_right%2C%0A%20%20%20%20hit_right%2C%0A%20%20%20%20main_controls%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20mu_noise%2C%0A%20%20%20%20mu_signal%2C%0A%20%20%20%20normal%2C%0A%20%20%20%20normal_pdf%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20polarity%2C%0A%20%20%20%20z_false_alarm_right%2C%0A%20%20%20%20z_hit_right%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_x%20%3D%20np.linspace(-4.5%2C%204.5%2C%20900)%0A%20%20%20%20_noise_pdf%20%3D%20normal_pdf(_x%2C%20mu_noise)%0A%20%20%20%20_signal_pdf%20%3D%20normal_pdf(_x%2C%20mu_signal)%0A%20%20%20%20_right%20%3D%20_x%20%3E%3D%20cutoff%0A%20%20%20%20_evidence_midpoint%20%3D%200.5%20*%20(mu_signal%20%2B%20mu_noise)%0A%20%20%20%20_reference_z%20%3D%20-cutoff%0A%20%20%20%20_reference_rate%20%3D%20normal.cdf(-cutoff)%0A%20%20%20%20_accuracy%20%3D%200.5%20*%20(hit_right%20%2B%201.0%20-%20false_alarm_right)%0A%20%20%20%20_zero_separation%20%3D%20abs(dprime_signed)%20%3C%201e-12%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20(_ax%2C%20_mean_ax%2C%20_rate_ax)%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%203%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20figsize%3D(10.5%2C%2010.4)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gridspec_kw%3D%7B%22height_ratios%22%3A%20%5B4.1%2C%201.45%2C%201.6%5D%7D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig.patch.set_facecolor(%22%23ffffff%22)%0A%0A%20%20%20%20_ax.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x%2C%20_noise_pdf%2C%20color%3D%22%232b6cb0%22%2C%20linewidth%3D2.4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22A%3A%20noise%20only%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_signal_pdf%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23d97706%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D2.4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linestyle%3D%22--%22%20if%20_zero_separation%20else%20%22-%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22B%3A%20signal%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_noise_pdf%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20where%3D_right%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%232b6cb0%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.26%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22%24FA_R%3D%7Bfalse_alarm_right%3A.3f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_signal_pdf%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20where%3D_right%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23d97706%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.26%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22%24H_R%3D%7Bhit_right%3A.3f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.axvline(cutoff%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20linewidth%3D2%2C%20linestyle%3D%22--%22)%0A%20%20%20%20_ax.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cutoff%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.43%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22criterion%20%24%5Clambda%3D%7Bcutoff%3A.2f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20va%3D%22bottom%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%235b21b6%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D10%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.axvline(mu_noise%2C%20color%3D%22%232b6cb0%22%2C%20linewidth%3D1%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax.axvline(mu_signal%2C%20color%3D%22%23d97706%22%2C%20linewidth%3D1%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_evidence_midpoint%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%237b8493%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.8%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(mu_signal%2C%200.065)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(mu_noise%2C%200.065)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3D%7B%22arrowstyle%22%3A%20%22%3C-%3E%22%2C%20%22color%22%3A%20%22%23182338%22%2C%20%22lw%22%3A%201.4%7D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_evidence_midpoint%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.077%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22mean%20gap%20%24%3D(%5Cmu_B-%5Cmu_A)%2F%5Csigma%3Dd'_R%3D%7Bdprime_signed%3A%2B.2f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D10%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(cutoff%2C%200.132)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(_evidence_midpoint%2C%200.132)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3D%7B%22arrowstyle%22%3A%20%22%3C-%3E%22%2C%20%22color%22%3A%20%22%237c3aed%22%2C%20%22lw%22%3A%201.5%7D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.5%20*%20(cutoff%20%2B%20_evidence_midpoint)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.145%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22criterion%20%24c_R%3D%7Bcriterion_right%3A%2B.2f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%235b21b6%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D9.5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.985%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.96%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Hit%20rate%20%3D%20%7Bhit_right%3A.3f%7D%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22False-alarm%20rate%20%3D%20%7Bfalse_alarm_right%3A.3f%7D%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Accuracy%20%3D%20%7B_accuracy%3A.3f%7D%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Criterion%20cR%20%3D%20%7Bcriterion_right%3A%2B.3f%7D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20transform%3D_ax.transAxes%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20va%3D%22top%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linespacing%3D1.45%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3D%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22boxstyle%22%3A%20%22round%2Cpad%3D0.55%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22facecolor%22%3A%20%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22edgecolor%22%3A%20%22%23cbd3df%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22alpha%22%3A%200.94%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Evidence%20distributions%20and%20the%20two%20right-tail%20rates%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22density%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(-4.5%2C%204.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(0%2C%200.47)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.set_yticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20_ax.legend(loc%3D%22upper%20left%22%2C%20frameon%3DFalse%2C%20ncols%3D2%2C%20fontsize%3D8.5)%0A%20%20%20%20_ax.spines%5B%5B%22top%22%2C%20%22right%22%2C%20%22left%22%5D%5D.set_visible(False)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Upper%20pair%3A%20absolute%20evidence%20coordinates.%20The%20criterion%20really%20moves%0A%20%20%20%20%23%20here.%20Each%20colored%20arrow%20is%20the%20signed%20mean-minus-criterion%20distance.%0A%20%20%20%20_b_mean_y%2C%20_a_mean_y%20%3D%200.66%2C%200.20%0A%20%20%20%20_axis_limit%20%3D%205.25%0A%20%20%20%20for%20_row_y%20in%20(_b_mean_y%2C%20_a_mean_y)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mean_ax.axhline(_row_y%2C%20color%3D%22%23d6dbe3%22%2C%20linewidth%3D1.0%2C%20zorder%3D0)%0A%20%20%20%20_mean_ax.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cutoff%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20linewidth%3D2.0%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20zorder%3D1%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_mean_ax.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cutoff%2C%200.88%2C%20rf%22%24%5Clambda%3D%7Bcutoff%3A%2B.2f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22bottom%22%2C%20color%3D%22%235b21b6%22%2C%20fontsize%3D9.3%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_absolute_rows%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(_b_mean_y%2C%20mu_signal%2C%20%22%23d97706%22%2C%20rf%22%24%5Cmu_B-%5Clambda%3D%7Bz_hit_right%3A%2B.2f%7D%24%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(_a_mean_y%2C%20mu_noise%2C%20%22%232b6cb0%22%2C%20rf%22%24%5Cmu_A-%5Clambda%3D%7Bz_false_alarm_right%3A%2B.2f%7D%24%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20for%20_row_y%2C%20_mean%2C%20_color%2C%20_label%20in%20_absolute_rows%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mean_ax.scatter(%5Bcutoff%5D%2C%20%5B_row_y%5D%2C%20marker%3D%22%7C%22%2C%20s%3D150%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20zorder%3D3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_mean%20-%20cutoff)%20%3E%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_mean_ax.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%20xy%3D(_mean%2C%20_row_y)%2C%20xytext%3D(cutoff%2C%20_row_y)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3D%7B%22arrowstyle%22%3A%20%22-%7C%3E%22%2C%20%22color%22%3A%20_color%2C%20%22lw%22%3A%202.3%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mean_ax.scatter(%5B_mean%5D%2C%20%5B_row_y%5D%2C%20s%3D75%2C%20color%3D_color%2C%20zorder%3D4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mean_ax.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.985%2C%20_row_y%2C%20_label%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20transform%3D_mean_ax.get_yaxis_transform()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22right%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%20color%3D_color%2C%20fontsize%3D9.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3D%7B%22facecolor%22%3A%20%22white%22%2C%20%22edgecolor%22%3A%20%22none%22%2C%20%22alpha%22%3A%200.88%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_mean_ax.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Upper%20pair%20%E2%80%94%20absolute%20evidence%20axis%3A%20the%20purple%20criterion%20moves%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22absolute%20evidence%20x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(-_axis_limit%2C%20_axis_limit)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(-0.02%2C%201.02)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_mean_ax.set_yticks(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_b_mean_y%2C%20_a_mean_y%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20labels%3D%5Br%22B%20mean%20%24%5Cmu_B%24%22%2C%20r%22A%20mean%20%24%5Cmu_A%24%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_mean_ax.tick_params(axis%3D%22y%22%2C%20length%3D0%2C%20labelsize%3D9)%0A%20%20%20%20_mean_ax.spines%5B%5B%22top%22%2C%20%22right%22%2C%20%22left%22%5D%5D.set_visible(False)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Lower%20pair%3A%20exactly%20the%20same%20signed%20distances%2C%20but%20the%20coordinate%20axis%0A%20%20%20%20%23%20is%20re-centered%20so%20that%20the%20criterion%20is%20always%20zero.%20This%20is%20the%0A%20%20%20%20%23%20coordinate%20returned%20by%20z(right-tail%20rate)%20when%20sigma%3D1.%0A%20%20%20%20_hit_y%2C%20_fa_y%20%3D%200.66%2C%200.20%0A%20%20%20%20for%20_row_y%20in%20(_hit_y%2C%20_fa_y)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rate_ax.axhline(_row_y%2C%20color%3D%22%23d6dbe3%22%2C%20linewidth%3D1.0%2C%20zorder%3D0)%0A%20%20%20%20_rate_ax.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.0%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20linewidth%3D2.0%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20zorder%3D1%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_rate_ax.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.0%2C%200.88%2C%20r%22criterion-centered%20zero%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22bottom%22%2C%20color%3D%22%235b21b6%22%2C%20fontsize%3D9.3%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_relative_rows%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(_hit_y%2C%20z_hit_right%2C%20%22%23d97706%22%2C%20rf%22%24z(H_R)%3D%7Bz_hit_right%3A%2B.2f%7D%24%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(_fa_y%2C%20z_false_alarm_right%2C%20%22%232b6cb0%22%2C%20rf%22%24z(FA_R)%3D%7Bz_false_alarm_right%3A%2B.2f%7D%24%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20for%20_row_y%2C%20_z_value%2C%20_color%2C%20_label%20in%20_relative_rows%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rate_ax.scatter(%5B0.0%5D%2C%20%5B_row_y%5D%2C%20marker%3D%22%7C%22%2C%20s%3D150%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20zorder%3D3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_z_value)%20%3E%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_rate_ax.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%20xy%3D(_z_value%2C%20_row_y)%2C%20xytext%3D(0.0%2C%20_row_y)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3D%7B%22arrowstyle%22%3A%20%22-%7C%3E%22%2C%20%22color%22%3A%20_color%2C%20%22lw%22%3A%202.3%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rate_ax.scatter(%5B_z_value%5D%2C%20%5B_row_y%5D%2C%20s%3D75%2C%20color%3D_color%2C%20zorder%3D4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rate_ax.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.985%2C%20_row_y%2C%20_label%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20transform%3D_rate_ax.get_yaxis_transform()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22right%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%20color%3D_color%2C%20fontsize%3D9.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3D%7B%22facecolor%22%3A%20%22white%22%2C%20%22edgecolor%22%3A%20%22none%22%2C%20%22alpha%22%3A%200.88%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_rate_ax.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Lower%20pair%20%E2%80%94%20re-center%20at%20the%20criterion%3A%20the%20purple%20line%20is%20now%20zero%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22signed%20distance%20from%20criterion%20%24%3D(%5Cmu-%5Clambda)%2F%5Csigma%3Dz(%5Cmathrm%7Brate%7D)%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(-_axis_limit%2C%20_axis_limit)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(-0.02%2C%201.02)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_rate_ax.set_yticks(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_hit_y%2C%20_fa_y%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20labels%3D%5Br%22hit-rate%20%24z(H_R)%24%22%2C%20r%22false-alarm%20%24z(FA_R)%24%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_rate_ax.tick_params(axis%3D%22y%22%2C%20length%3D0%2C%20labelsize%3D9)%0A%20%20%20%20_rate_ax.spines%5B%5B%22top%22%2C%20%22right%22%2C%20%22left%22%5D%5D.set_visible(False)%0A%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout(h_pad%3D2.7)%0A%0A%20%20%20%20_ordering_note%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20two%20means%20currently%20coincide%2C%20so%20the%20signed%20sensitivity%20is%20zero.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_zero_separation%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22B%2Fsignal%20is%20right%20of%20A%2Fnoise%2C%20so%20the%20signed%20value%20is%20positive.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20polarity%20%3D%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Signal%20is%20left%20of%20noise%2C%20but%20the%20response%20is%20still%20the%20right%20tail%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22so%20the%20signed%20value%20is%20negative.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20main_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Start%20by%20pressing%20%E2%80%9CSet%20both%20shifts%20to%200.%E2%80%9D**%20At%20that%20reference%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20point%2C%20both%20curves%20have%20mean%200.%20With%20the%20current%20criterion%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Clambda%3D%7Bcutoff%3A%2B.2f%7D%24%2C%20their%20shared%20right-tail%20proportion%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24H_R%3DFA_R%3D%7B_reference_rate%3A.3f%7D%24.%20In%20words%2C%20the%20observer%20says%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%80%9Cyes%E2%80%9D%20on%20%7B_reference_rate%3A.1%25%7D%20of%20signal%20trials%20**and**%20on%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B_reference_rate%3A.1%25%7D%20of%20noise-only%20trials%2C%20because%20the%20two%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20evidence%20distributions%20are%20identical.%20The%20reflected%20CDF%20trick%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20from%20section%201%20gives%20both%20rates%20the%20same%20value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24z(H_R)%3Dz(FA_R)%3D-%5Clambda%3D%7B_reference_z%3A%2B.3f%7D%24%2C%20so%20their%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20difference%20is%20zero.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Now%20try%20these%20two%20one-step%20experiments%3A**%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.%20Move%20only%20**B%2Fsignal%20to%20%24%2B1%24**.%20More%20B%20trials%20cross%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fixed%20criterion%2C%20so%20the%20hit%20rate%20rises.%20Its%20z-value%20rises%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20by%20exactly%20the%20same%20%24%2B1%24%3B%20watch%20the%20orange%20arrow%20below%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lengthen%20by%20the%20same%20amount%20as%20the%20orange%20arrow%20above.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%202.%20Reset%2C%20then%20move%20only%20**A%2Fnoise%20to%20%24-1%24**.%20Fewer%20A%20trials%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cross%20the%20criterion%2C%20so%20the%20false-alarm%20rate%20falls.%20Its%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z-value%20moves%20left%20by%20exactly%20%24-1%24%3B%20the%20two%20blue%20arrows%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20again%20have%20the%20same%20length%20and%20direction.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%203.%20To%20test%20the%20apparently%20awkward%20case%2C%20set%20**B%20%3D%20%24%2B1%24**%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**A%20%3D%20%240%24**%2C%20and%20**%24%5Clambda%3D%2B1.5%24**.%20The%20criterion%20is%20now%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20to%20the%20right%20of%20even%20the%20signal%20mean.%20The%20hit%20rate%20is%20only%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%240.309%3C0.5%24%2C%20so%20%24z(H_R)%3D-0.5%24.%20The%20false-alarm%20rate%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%240.067%24%2C%20so%20%24z(FA_R)%3D-1.5%24.%20Both%20z-values%20are%20negative%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20but%20their%20difference%20is%20still%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24-0.5-(-1.5)%3D1%3Dd'%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20In%20that%20third%20case%2C%20the%20standardized%20signal%20cutoff%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24a_B%3D(%5Clambda-%5Cmu_B)%2F%5Csigma%3D%2B0.5%24.%20The%20hit%20rate%20is%20the%20area%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20counted%20rightward%20from%20%24%2B0.5%24%3B%20reflecting%20the%20same%20area%20to%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20other%20side%20gives%20%24z(H_R)%3D-0.5%24.%20Thus%20the%20symmetric%20flip%20works%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20separately%20around%20**each%20distribution's%20own%20mean**%2C%20even%20when%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20criterion%20lies%20to%20the%20right%20of%20that%20mean%20and%20the%20observed%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rate%20is%20below%20%240.5%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20current%20arrows%20and%20measured%20rates%20are%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20curve%20%7C%20mean%20on%20upper%20axis%20%7C%20criterion%20%7C%20signed%20arrow%20from%20criterion%20%7C%20measured%20rate%20%7C%20matching%20endpoint%20below%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%3A--%7C--%3A%7C--%3A%7C--%3A%7C--%3A%7C--%3A%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20B%20%2F%20signal%20%7C%20%24%7Bmu_signal%3A%2B.2f%7D%24%20%7C%20%24%7Bcutoff%3A%2B.2f%7D%24%20%7C%20%24%7Bmu_signal%20-%20cutoff%3A%2B.2f%7D%24%20%7C%20%24H_R%3D%7Bhit_right%3A.3f%7D%24%20%7C%20%24z(H_R)%3D%7Bz_hit_right%3A%2B.3f%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20A%20%2F%20noise%20%7C%20%24%7Bmu_noise%3A%2B.2f%7D%24%20%7C%20%24%7Bcutoff%3A%2B.2f%7D%24%20%7C%20%24%7Bmu_noise%20-%20cutoff%3A%2B.2f%7D%24%20%7C%20%24FA_R%3D%7Bfalse_alarm_right%3A.3f%7D%24%20%7C%20%24z(FA_R)%3D%7Bz_false_alarm_right%3A%2B.3f%7D%24%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Current%20horizontal%20gap%3A**%20upper%20pair%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cmu_B-%5Cmu_A%3D%7Bdprime_signed%3A%2B.3f%7D%24%3B%20lower%20pair%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24z(H_R)-z(FA_R)%3D%7Bdprime_signed%3A%2B.3f%7D%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Read%20the%20upper%20and%20lower%20pairs%20as%20the%20same%20two%20arrows%20in%20two%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20coordinate%20systems.**%20In%20the%20upper%20pair%2C%20the%20scale%20is%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20absolute%20evidence%20axis.%20The%20purple%20line%20is%20the%20actual%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20criterion%20and%20moves%20when%20you%20move%20%24%5Clambda%24.%20Each%20colored%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrow%20runs%20from%20that%20criterion%20to%20its%20distribution%20mean.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20In%20the%20lower%20pair%2C%20we%20keep%20those%20arrow%20lengths%20and%20directions%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20but%20**re-center%20the%20ruler%20at%20the%20criterion**.%20The%20purple%20line%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20is%20therefore%20fixed%20at%20zero.%20The%20right-tail%20reflection%20from%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20section%201%20turns%20the%20orange%20signed%20distance%20into%20%24z(H_R)%24%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20blue%20signed%20distance%20into%20%24z(FA_R)%24.%20No%20diagonal%20mapping%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20is%20needed%3A%20visually%2C%20it%20is%20the%20same%20arrow%20placed%20on%20a%20ruler%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20whose%20zero%20is%20now%20the%20criterion.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Try%20the%20sliders%20one%20at%20a%20time%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Move%20only%20B%3A%20only%20the%20orange%20mean%20and%20orange%20z%20endpoint%20move.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Move%20only%20A%3A%20only%20the%20blue%20mean%20and%20blue%20z%20endpoint%20move.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Move%20only%20%24%5Clambda%24%3A%20both%20means%20remain%20fixed%20above%20while%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20purple%20criterion%20moves.%20Below%2C%20the%20criterion%20stays%20centered%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20at%20zero%20and%20**both**%20colored%20z%20endpoints%20move%20together%20by%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20same%20amount.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20That%20last%20movement%20changes%20both%20rates%2C%20but%20it%20does%20not%20change%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20horizontal%20orange-to-blue%20gap.%20The%20upper%20gap%20and%20lower%20gap%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20remain%20the%20same%3A%20%24d'_R%3D%7Bdprime_signed%3A%2B.2f%7D%24.%20Thus%20the%20picture%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20preserves%20the%20role%20of%20%24%5Clambda%24%20while%20showing%20why%20criterion%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20placement%20disappears%20from%20the%20difference%20of%20the%20two%20z-values.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Clambda%24%20is%20the%20**decision%20criterion%20(cutoff)%20on%20the%20evidence%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis**.%20Its%20standardized%20location%20relative%20to%20the%20midpoint%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24c_R%3D%5B%5Clambda-(%5Cmu_B%2B%5Cmu_A)%2F2%5D%2F%5Csigma%24.%20For%20the%20shift%20argument%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20important%20fact%20is%20that%20the%20same%20%24-%5Clambda%24%20offset%20appears%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20in%20both%20z-values%20and%20cancels.%20%7B_ordering_note%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20displayed%20accuracy%20assumes%20equally%20frequent%20signal%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20noise%20trials%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cmathrm%7B%7Baccuracy%7D%7D%3D%5Ctfrac12%5BH_R%2B(1-FA_R)%5D%3D%7B_accuracy%3A.3f%7D%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22success%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20roc_separation%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D3.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D1.6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22ROC-row%20separation%20%24%7Cd'%7C%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(roc_separation%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20normal%2C%20normal_pdf%2C%20np%2C%20plt%2C%20roc_separation)%3A%0A%20%20%20%20_row_signed_dprime%20%3D%20roc_separation.value%0A%20%20%20%20_row_mu_signal%20%3D%20_row_signed_dprime%20%2F%202.0%0A%20%20%20%20_row_mu_noise%20%3D%20-_row_signed_dprime%20%2F%202.0%0A%20%20%20%20_x%20%3D%20np.linspace(-4.5%2C%204.5%2C%20700)%0A%20%20%20%20_noise_pdf%20%3D%20normal_pdf(_x%2C%20_row_mu_noise)%0A%20%20%20%20_signal_pdf%20%3D%20normal_pdf(_x%2C%20_row_mu_signal)%0A%20%20%20%20_fixed_cutoffs%20%3D%20np.linspace(-2.4%2C%202.4%2C%209)%0A%20%20%20%20_threshold_colors%20%3D%20plt.get_cmap(%22viridis%22)(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.linspace(0.08%2C%200.92%2C%20len(_fixed_cutoffs))%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_fixed_false_alarms%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20normal.cdf(_row_mu_noise%20-%20float(_value))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_value%20in%20_fixed_cutoffs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fixed_hits%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20normal.cdf(_row_mu_signal%20-%20float(_value))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_value%20in%20_fixed_cutoffs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_dense_cutoffs%20%3D%20np.linspace(-5.5%2C%205.5%2C%20600)%0A%20%20%20%20_roc_false_alarms%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20normal.cdf(_row_mu_noise%20-%20float(_value))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_value%20in%20_dense_cutoffs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_roc_hits%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20normal.cdf(_row_mu_signal%20-%20float(_value))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_value%20in%20_dense_cutoffs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20This%20SDT%20view%20deliberately%20has%20fixed%20criteria.%20It%20changes%20with%20d'%2C%20but%0A%20%20%20%20%23%20it%20does%20not%20depend%20on%20the%20interactive%20criterion%20slider%20above.%0A%20%20%20%20_fixed_fig%2C%20_fixed_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(6.2%2C%204.8))%0A%20%20%20%20_fixed_fig.patch.set_facecolor(%22%23ffffff%22)%0A%20%20%20%20_fixed_ax.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x%2C%20_noise_pdf%2C%20color%3D%22%232b6cb0%22%2C%20linewidth%3D2.4%2C%20label%3D%22A%3A%20noise%20only%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fixed_ax.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x%2C%20_signal_pdf%2C%20color%3D%22%23d97706%22%2C%20linewidth%3D2.4%2C%20label%3D%22B%3A%20signal%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20for%20_fixed_cutoff%2C%20_threshold_color%20in%20zip(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fixed_cutoffs%2C%20_threshold_colors%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fixed_ax.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fixed_cutoff%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_threshold_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D1.45%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fixed_ax.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fixed_cutoff%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.445%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%24%7B_fixed_cutoff%3A%2B.1f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20va%3D%22top%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rotation%3D90%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_threshold_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D7.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fixed_ax.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Fixed%20criteria%20on%20the%20evidence%20distributions%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22evidence%20%24x%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22density%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(-4.5%2C%204.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(0%2C%200.47)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fixed_ax.set_yticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20_fixed_ax.legend(loc%3D%22upper%20left%22%2C%20frameon%3DFalse%2C%20ncols%3D2%2C%20fontsize%3D8.5)%0A%20%20%20%20_fixed_ax.spines%5B%5B%22top%22%2C%20%22right%22%2C%20%22left%22%5D%5D.set_visible(False)%0A%20%20%20%20_fixed_fig.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_roc_fig%2C%20_roc_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(6.2%2C%204.8))%0A%20%20%20%20_roc_fig.patch.set_facecolor(%22%23ffffff%22)%0A%20%20%20%20_roc_ax.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0%2C%201%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0%2C%201%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23aab3c2%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linestyle%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22chance%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_roc_ax.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_roc_false_alarms%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_roc_hits%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23182338%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D2.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22ROC%20(%24d'_R%3D%7B_row_signed_dprime%3A%2B.1f%7D%24)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20for%20_index%2C%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fixed_cutoff%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fixed_false_alarm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fixed_hit%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_threshold_color%2C%0A%20%20%20%20)%20in%20enumerate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zip(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fixed_cutoffs%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fixed_false_alarms%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fixed_hits%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_threshold_colors%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_roc_ax.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_fixed_false_alarm%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_fixed_hit%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D70%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidths%3D2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_threshold_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_roc_ax.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%24%5Clambda%3D%7B_fixed_cutoff%3A%2B.1f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(_fixed_false_alarm%2C%20_fixed_hit)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(5%2C%207%20if%20_index%20%25%202%20%3D%3D%200%20else%20-13)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textcoords%3D%22offset%20points%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D7.3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_threshold_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_roc_ax.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22The%20same%20criteria%20traced%20on%20the%20ROC%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22false-alarm%20rate%20%24FA_R%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22hit%20rate%20%24H_R%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(-0.035%2C%201.035)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(-0.035%2C%201.035)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_roc_ax.set_aspect(%22equal%22%2C%20adjustable%3D%22box%22)%0A%20%20%20%20_roc_ax.grid(alpha%3D0.18)%0A%20%20%20%20_roc_ax.spines%5B%5B%22top%22%2C%20%22right%22%5D%5D.set_visible(False)%0A%20%20%20%20_roc_ax.legend(loc%3D%22lower%20right%22%2C%20frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D8.5)%0A%20%20%20%20_roc_fig.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_ordering_note%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22This%20independent%20ROC%20example%20keeps%20B%2Fsignal%20to%20the%20right%20of%20A%2Fnoise%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22so%20its%20ROC%20is%20above%20the%20diagonal%20whenever%20d'%20is%20positive.%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20One%20separation%2C%20many%20criteria%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20lower%20pair%20is%20independent%20of%20the%20purple%20criterion%20bar.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Use%20its%20own%20%24%7Cd'%7C%24%20control%20below.%20Each%20colored%20vertical%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20criterion%20on%20the%20SDT%20plot%20is%20the%20same-colored%20%24%5Ctimes%24%20on%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20right-tail%20ROC.%20This%20row%20uses%20the%20conventional%20orientation%20in%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20which%20larger%20evidence%20favors%20B%2Fsignal.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20roc_separation%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_fixed_fig%2C%20_roc_fig%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20widths%3D%22equal%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20wrap%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Moving%20a%20criterion%20travels%20along%20one%20ROC%20without%20changing%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24d'%24.%20Changing%20%24%7Cd'%7C%24%20changes%20the%20separation%20of%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20distributions%20and%20therefore%20bends%20the%20entire%20ROC.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B_ordering_note%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20criterion_oriented%2C%0A%20%20%20%20criterion_right%2C%0A%20%20%20%20dprime_oriented%2C%0A%20%20%20%20dprime_signed%2C%0A%20%20%20%20false_alarm_oriented%2C%0A%20%20%20%20false_alarm_right%2C%0A%20%20%20%20hit_oriented%2C%0A%20%20%20%20hit_right%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20mu_noise%2C%0A%20%20%20%20mu_signal%2C%0A%20%20%20%20polarity%2C%0A%20%20%20%20z_false_alarm_right%2C%0A%20%20%20%20z_hit_right%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_orientation_explanation%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22At%20zero%20separation%20there%20is%20no%20signal-favoring%20direction%20to%20orient.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(dprime_signed)%20%3C%201e-12%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22No%20recoding%20is%20needed%20because%20larger%20evidence%20already%20favors%20signal.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20polarity%20%3D%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22To%20report%20a%20positive%20sensitivity%2C%20define%20oriented%20evidence%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24X%5E*%3D-X%24.%20The%20signal%20response%20is%20then%20the%20original%20**left**%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22tail.%20Equivalently%2C%20%24H%5E*%3D1-H_R%24%20and%20%24FA%5E*%3D1-FA_R%24%2C%20so%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24z(H%5E*)-z(FA%5E*)%3Dz(FA_R)-z(H_R)%24.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20The%20right-tail%20derivation%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Apply%20the%20complement%20identity%20from%20section%201%20to%20each%20shaded%20area%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7B%7Baligned%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20H_R%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D1-%5CPhi%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B%7B%5Clambda-%5Cmu_B%7D%7D%7B%7B%5Csigma%7D%7D%5Cright)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%5CPhi%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B%7B%5Cmu_B-%5Clambda%7D%7D%7B%7B%5Csigma%7D%7D%5Cright)%2C%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20FA_R%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D1-%5CPhi%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B%7B%5Clambda-%5Cmu_A%7D%7D%7B%7B%5Csigma%7D%7D%5Cright)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%5CPhi%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B%7B%5Cmu_A-%5Clambda%7D%7D%7B%7B%5Csigma%7D%7D%5Cright).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7B%7Baligned%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Now%20%24z%3D%5CPhi%5E%7B%7B-1%7D%7D%24%20cancels%20%24%5CPhi%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cboxed%7B%7Bd'_R%3Dz(H_R)-z(FA_R)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7B%7B%5Cmu_B-%5Clambda%7D%7D%7B%7B%5Csigma%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%5Cfrac%7B%7B%5Cmu_A-%5Clambda%7D%7D%7B%7B%5Csigma%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7B%7B%5Cmu_B-%5Cmu_A%7D%7D%7B%7B%5Csigma%7D%7D%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20In%20words%2C%20%24d'%24%20is%20the%20**signal%20mean%20minus%20the%20noise%20mean%2C%20divided%20by%0A%20%20%20%20%20%20%20%20their%20common%20standard%20deviation**.%20The%20%24%5Clambda%24%20terms%20cancel.%20For%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20current%20settings%2C%20%24(%5Cmu_B-%5Cmu_A)%2F%5Csigma%3D%7Bmu_signal%20-%20mu_noise%3A%2B.2f%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20the%20rate%20formula%20gives%20%24d'_R%3D%7Bdprime_signed%3A%2B.2f%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20With%20unequal%20standard%20deviations%2C%20the%20difference%20instead%20contains%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Clambda(1%2F%5Csigma_A-1%2F%5Csigma_B)%24%2C%20so%20it%20changes%20with%20the%20criterion.%20That%0A%20%20%20%20%20%20%20%20is%20precisely%20where%20the%20simple%20equal-variance%20identity%20stops%20applying.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24H_R%24%20%7C%20%24FA_R%24%20%7C%20%24z(H_R)%24%20%7C%20%24z(FA_R)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C--%3A%7C--%3A%7C--%3A%7C--%3A%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7Bhit_right%3A.3f%7D%20%7C%20%7Bfalse_alarm_right%3A.3f%7D%20%7C%20%7Bz_hit_right%3A%2B.3f%7D%20%7C%20%7Bz_false_alarm_right%3A%2B.3f%7D%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20What%20if%20signal%20is%20lower%20than%20noise%3F%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Keeping%20the%20right-tail%20rule%20gives%20a%20useful%20**signed**%20sensitivity%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24d'_R%3D%7Bdprime_signed%3A%2B.2f%7D%24.%20%7B_orientation_explanation%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20After%20orienting%20the%20evidence%20toward%20signal%2C%20the%20current%20rates%20are%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24H%5E*%3D%7Bhit_oriented%3A.3f%7D%24%20and%20%24FA%5E*%3D%7Bfalse_alarm_oriented%3A.3f%7D%24%2C%20giving%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24d'%3D%7Bdprime_oriented%3A.2f%7D%3D%7Cd'_R%7C%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**So%20should%20it%20be%20%24z(FA)-z(H)%24%3F**%20Only%20when%20signal%20lies%20to%20the%20left%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20you%20intentionally%20reverse%20the%20evidence%2Fresponse%20orientation.%20If%20both%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rates%20are%20fixed%20right%20tails%2C%20%24z(H_R)-z(FA_R)%24%20is%20always%20the%20correct%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*signed*%20formula.%20State%20the%20convention%20rather%20than%20silently%20changing%0A%20%20%20%20%20%20%20%20the%20subtraction.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22warn%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%203.%20Criterion%20comes%20from%20the%20midpoint%20of%20the%20two%20z%20values%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Their%20difference%20measures%20separation%3B%20their%20sum%20locates%20the%20cutoff.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Starting%20from%20the%20same%20two%20transformed%20right-tail%20rates%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7B%7Baligned%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z(H_R)%2Bz(FA_R)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%5Cfrac%7B%7B%5Cmu_B%2B%5Cmu_A-2%5Clambda%7D%7D%7B%7B%5Csigma%7D%7D%2C%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cboxed%7B%7Bc_R%3D-%5Ctfrac12%5Bz(H_R)%2Bz(FA_R)%5D%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%5Cboxed%7B%7B%5Cfrac%7B%7B%5Clambda-(%5Cmu_B%2B%5Cmu_A)%2F2%7D%7D%7B%7B%5Csigma%7D%7D%7D%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7B%7Baligned%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Thus%20criterion%20is%20the%20cutoff%20minus%20the%20signal%2Fnoise%20mean%20midpoint%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20divided%20by%20the%20common%20standard%20deviation.%20It%20is%20also%20the%20**negative%0A%20%20%20%20%20%20%20%20midpoint**%20of%20%24z(H_R)%24%20and%20%24z(FA_R)%24.%20Therefore%20%24c_R%3D0%24%20when%20the%20cutoff%0A%20%20%20%20%20%20%20%20is%20at%20the%20midpoint%20of%20the%20evidence%20distributions.%20Positive%20values%20put%0A%20%20%20%20%20%20%20%20the%20right-tail%20cutoff%20to%20its%20right%3B%20negative%20values%20put%20it%20to%20its%20left.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20If%20you%20orient%20evidence%20so%20larger%20values%20always%20favor%20signal%2C%20use%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24c%3D%20s%5C%2Cc_R%24%2C%20where%20%24s%3D%5Coperatorname%7B%7Bsign%7D%7D(%5Cmu_B-%5Cmu_A)%24.%20The%20current%0A%20%20%20%20%20%20%20%20oriented%20value%20is%20%24c%3D%7Bcriterion_oriented%3A%2B.2f%7D%24.%20In%20that%20convention%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24c%3E0%24%20always%20means%20a%20conservative%20signal%20criterion.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20For%20the%20current%20slider%20settings%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20c_R%3D-%5Cfrac12%5Cleft%5B(%7Bz_hit_right%3A%2B.3f%7D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B(%7Bz_false_alarm_right%3A%2B.3f%7D)%5Cright%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%7Bcriterion_right%3A%2B.3f%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20evidence-axis%20calculation%20gives%20the%20same%20result%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5B%5Clambda-(%5Cmu_B%2B%5Cmu_A)%2F2%5D%2F%5Csigma%3D%7Bcriterion_right%3A%2B.3f%7D%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%204.%20Edge%20rates%3A%20why%200%20and%201%20become%20infinite%0A%0A%20%20%20%20The%20inverse%20CDF%20has%20%24z(0)%3D-%5Cinfty%24%20and%20%24z(1)%3D%2B%5Cinfty%24.%20An%20observed%20rate%0A%20%20%20%20of%200%20or%201%20usually%20means%20a%20finite%20sample%20contained%20no%20errors%E2%80%94not%20that%20the%0A%20%20%20%20underlying%20probability%20is%20literally%200%20or%201.%0A%0A%20%20%20%20Change%20the%20number%20of%20trials%20to%20see%20why%20a%20correction%20should%20know%20the%0A%20%20%20%20denominator.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20edge_trials%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Trials%20contributing%20to%20the%20rate%20(n)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20edge_case%20%3D%20mo.ui.radio(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%5B%220%20successes%22%2C%20%22n%20successes%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%220%20successes%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20inline%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Observed%20edge%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bedge_trials%2C%20edge_case%5D%2C%20widths%3D%22equal%22)%0A%20%20%20%20return%20edge_case%2C%20edge_trials%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(edge_case%2C%20edge_trials%2C%20mo%2C%20normal)%3A%0A%20%20%20%20_n%20%3D%20edge_trials.value%0A%20%20%20%20_count%20%3D%200%20if%20edge_case.value%20%3D%3D%20%220%20successes%22%20else%20_n%0A%20%20%20%20_raw_rate%20%3D%20_count%20%2F%20_n%0A%20%20%20%20_raw_z%20%3D%20r%22%24-%5Cinfty%24%22%20if%20_count%20%3D%3D%200%20else%20r%22%24%2B%5Cinfty%24%22%0A%0A%20%20%20%20%23%20Loglinear%20(half-count)%20correction%3A%20add%200.5%20to%20both%20cells%20of%20the%0A%20%20%20%20%23%20binomial%20table.%20The%20total%20therefore%20increases%20by%201.%0A%20%20%20%20_half_rate%20%3D%20(_count%20%2B%200.5)%20%2F%20(_n%20%2B%201.0)%0A%20%20%20%20_half_z%20%3D%20normal.inv_cdf(_half_rate)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Boundary-only%20correction%2C%20often%20called%20the%201%2F(2N)%20adjustment.%0A%20%20%20%20_boundary_rate%20%3D%201.0%20%2F%20(2.0%20*%20_n)%20if%20_count%20%3D%3D%200%20else%201.0%20-%201.0%20%2F%20(2.0%20*%20_n)%0A%20%20%20%20_boundary_z%20%3D%20normal.inv_cdf(_boundary_rate)%0A%0A%20%20%20%20_fixed_rate%20%3D%200.01%20if%20_count%20%3D%3D%200%20else%200.99%0A%20%20%20%20_fixed_z%20%3D%20normal.inv_cdf(_fixed_rate)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Method%20%7C%20Rate%20used%20%7C%20z%20value%20%7C%20Main%20feature%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%3A--%7C--%3A%7C--%3A%7C%3A--%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Raw%20%7B_count%7D%2F%7B_n%7D%20%7C%20%7B_raw_rate%3A.4f%7D%20%7C%20%7B_raw_z%7D%20%7C%20Infinite%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Fixed%20.01%2F.99%20clipping%20%7C%20%7B_fixed_rate%3A.4f%7D%20%7C%20%7B_fixed_z%3A%2B.3f%7D%20%7C%20Ignores%20%24n%24%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Boundary%20%241%2F(2n)%24%20%7C%20%7B_boundary_rate%3A.4f%7D%20%7C%20%7B_boundary_z%3A%2B.3f%7D%20%7C%20Corrects%20only%20edges%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20**Half-count%20(loglinear)**%20%7C%20**%7B_half_rate%3A.4f%7D**%20%7C%20**%7B_half_z%3A%2B.3f%7D**%20%7C%20Uses%20%24n%24%3B%20apply%20to%20every%20cell%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20practical%20default%20is%20the%20**half-count%2Floglinear%20correction**.%20For%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hits%20%24h%24%2C%20misses%20%24m%24%2C%20false%20alarms%20%24f%24%2C%20and%20correct%20rejections%20%24r%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cwidetilde%20H%3D%5Cfrac%7Bh%2B0.5%7D%7Bh%2Bm%2B1%7D%2C%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cwidetilde%7BFA%7D%3D%5Cfrac%7Bf%2B0.5%7D%7Bf%2Br%2B1%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Then%20compute%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24d'%3Dz(%5Cwidetilde%20H)-z(%5Cwidetilde%7BFA%7D)%24%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24c%3D-%5Ctfrac12%5Bz(%5Cwidetilde%20H)%2Bz(%5Cwidetilde%7BFA%7D)%5D%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Apply%20the%20correction%20within%20each%20participant%2Fcondition%20**before**%20taking%0A%20%20%20%20%20%20%20%20group%20averages%2C%20and%20report%20which%20correction%20you%20used.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22success%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Count-based%20implementation%0A%0A%20%20%20%20%60%60%60python%0A%20%20%20%20from%20statistics%20import%20NormalDist%0A%0A%20%20%20%20def%20sdt_from_counts(hits%2C%20misses%2C%20false_alarms%2C%20correct_rejections)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Equal-variance%20SDT%20with%20a%20half-count%20correction.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hit_rate%20%3D%20(hits%20%2B%200.5)%20%2F%20(hits%20%2B%20misses%20%2B%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fa_rate%20%3D%20(false_alarms%20%2B%200.5)%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20false_alarms%20%2B%20correct_rejections%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z%20%3D%20NormalDist().inv_cdf%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z_hit%2C%20z_fa%20%3D%20z(hit_rate)%2C%20z(fa_rate)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dprime%20%3D%20z_hit%20-%20z_fa%0A%20%20%20%20%20%20%20%20criterion%20%3D%20-0.5%20*%20(z_hit%20%2B%20z_fa)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20dprime%2C%20criterion%0A%20%20%20%20%60%60%60%0A%0A%20%20%20%20**Take-home%3A**%20with%20right%20tails%2C%20%24z(H_R)-z(FA_R)%24%20equals%20the%20signed%0A%20%20%20%20standardized%20mean%20difference.%20Reverse%20the%20evidence%2Ftails%20explicitly%20if%0A%20%20%20%20you%20want%20sensitivity%20oriented%20toward%20a%20leftward%20signal%2C%20use%20the%20matching%0A%20%20%20%20sign%20for%20criterion%2C%20and%20correct%20finite-sample%20edge%20rates%20before%20applying%0A%20%20%20%20%24z%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%205.%20Why%20two%20intervals%20improve%20forced-choice%20performance%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Compare%20a%20single-observation%20classification%20task%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(**yes%2Fno**%2C%20or%201I%E2%80%932AFC%20in%20the%20convention%20used%20here)%20with%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**2I%E2%80%932AFC**%20task.%20Let%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20N%5Csim%5Cmathcal%20N(0%2C%5Csigma%5E2)%2C%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20S%5Csim%5Cmathcal%20N(%5CDelta%2C%5Csigma%5E2)%2C%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20d'%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%7D%7B%5Csigma%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20where%20larger%20evidence%20favors%20the%20signal.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20One%20interval%3A%20compare%20one%20observation%20with%20a%20criterion%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20With%20equal%20priors%2C%20the%20optimal%20criterion%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Clambda%3D%5CDelta%2F2%24.%20The%20two%20kinds%20of%20correct%20response%20have%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20same%20probability%2C%20so%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20P_C%5E%7B%5Cmathrm%7B1I%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%5Ctfrac12%5Cleft%5BP(S%3E%5CDelta%2F2)%2BP(N%3C%5CDelta%2F2)%5Cright%5D%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%5CPhi%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B%5CDelta%7D%7B2%5Csigma%7D%5Cright)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%5Cboxed%7B%5CPhi%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7Bd'%7D%7B2%7D%5Cright)%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Two%20intervals%3A%20compare%20two%20independent%20observations%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20One%20interval%20contains%20%24S%24%20and%20the%20other%20contains%20%24N%24.%20Choose%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20interval%20with%20the%20larger%20observation.%20Orient%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20difference%20as%20target%20minus%20nontarget%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20D%3DS-N.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Independence%20makes%20the%20variances%20**add**%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20E%5BD%5D%3D%5CDelta%2C%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Coperatorname%7BVar%7D(D)%3D%5Csigma%5E2%2B%5Csigma%5E2%3D2%5Csigma%5E2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cqquad%20SD(D)%3D%5Csqrt%7B2%7D%5C%2C%5Csigma.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20response%20is%20correct%20when%20%24D%3E0%24%2C%20hence%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20P_C%5E%7B%5Cmathrm%7B2I%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3DP(D%3E0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%5CPhi%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B%5CDelta%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%5C%2C%5Csigma%7D%5Cright)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%5Cboxed%7B%5CPhi%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7Bd'%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%5Cright)%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Because%20%241%2F%5Csqrt%7B2%7D%3E1%2F2%24%2C%202I%E2%80%932AFC%20has%20higher%20expected%20accuracy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20than%20the%20equal-prior%20one-interval%20task%20whenever%20%24d'%3E0%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Equivalently%2C%20if%20%24D%3DX_2-X_1%24%2C%20its%20conditional%20means%20are%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24-%5CDelta%24%20and%20%24%2B%5CDelta%24.%20Their%20standardized%20separation%20is%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20d'_D%3D%5Cfrac%7B(%2B%5CDelta)-(-%5CDelta)%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%5C%2C%5Csigma%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%5Cboxed%7B%5Csqrt%7B2%7D%5C%2Cd'%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Important%20correction%3A**%20the%20raw%20difference%20variable%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20not%20narrower.%20Its%20standard%20deviation%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Csqrt%7B2%7D%5C%2C%5Csigma%24%2C%20not%20%24%5Csigma%2F%5Csqrt%7B2%7D%24.%20The%20advantage%20comes%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20from%20using%20two%20observations%3A%20the%20two%20target-location%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20distributions%20have%20twice%20the%20mean%20separation%2C%20producing%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20net%20%24%5Csqrt%7B2%7D%24%20improvement%20in%20standardized%20separation.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22warn%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20corresponding%20accuracy-to-sensitivity%20conversions%20are%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20d'%3D2z(P_C%5E%7B%5Cmathrm%7B1I%7D%7D)%2C%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20d'%3D%5Csqrt%7B2%7D%5C%2Cz(P_C%5E%7B%5Cmathrm%7B2I%7D%7D).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Move%20the%20sensory%20%24d'%24%20below.%20At%20zero%2C%20both%20tasks%20are%20at%20chance.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20As%20the%20distributions%20separate%2C%20watch%20the%202I%20margin%20move%20farther%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20from%20the%20decision%20boundary%20and%20its%20accuracy%20rise%20faster.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20forced_choice_dprime%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D3.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D1.6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Underlying%20sensory%20separation%20%24d'%3D%5CDelta%2F%5Csigma%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20forced_choice_dprime%0A%20%20%20%20return%20(forced_choice_dprime%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(forced_choice_dprime%2C%20mo%2C%20normal%2C%20normal_pdf%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_dprime%20%3D%20forced_choice_dprime.value%0A%20%20%20%20_delta%20%3D%20_dprime%20%20%23%20Set%20sigma%3D1%20without%20loss%20of%20generality.%0A%20%20%20%20_sigma%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20_difference_sd%20%3D%20np.sqrt(2.0)%20*%20_sigma%0A%20%20%20%20_criterion_1i%20%3D%20_delta%20%2F%202.0%0A%20%20%20%20_n_trials%20%3D%2060_000%0A%0A%20%20%20%20_theory_1i%20%3D%20normal.cdf(_dprime%20%2F%202.0)%0A%20%20%20%20_theory_2i%20%3D%20normal.cdf(_dprime%20%2F%20np.sqrt(2.0))%0A%0A%20%20%20%20%23%20A%20reproducible%20Monte%20Carlo%20demonstration.%20In%201I%2C%20classify%20a%20randomly%0A%20%20%20%20%23%20selected%20noise%20or%20signal%20observation.%20In%202I%2C%20compare%20an%20independent%0A%20%20%20%20%23%20signal%20observation%20directly%20with%20an%20independent%20noise%20observation.%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(20260914)%0A%20%20%20%20_is_signal%20%3D%20_rng.integers(0%2C%202%2C%20size%3D_n_trials).astype(bool)%0A%20%20%20%20_one_observation%20%3D%20_rng.normal(0.0%2C%20_sigma%2C%20size%3D_n_trials)%0A%20%20%20%20_one_observation%20%3D%20_one_observation%20%2B%20_is_signal%20*%20_delta%0A%20%20%20%20_one_says_signal%20%3D%20_one_observation%20%3E%20_criterion_1i%0A%20%20%20%20_simulated_1i%20%3D%20np.mean(_one_says_signal%20%3D%3D%20_is_signal)%0A%0A%20%20%20%20_signal_observation%20%3D%20_rng.normal(_delta%2C%20_sigma%2C%20size%3D_n_trials)%0A%20%20%20%20_noise_observation%20%3D%20_rng.normal(0.0%2C%20_sigma%2C%20size%3D_n_trials)%0A%20%20%20%20_raw_difference%20%3D%20_signal_observation%20-%20_noise_observation%0A%20%20%20%20_simulated_2i%20%3D%20np.mean(_raw_difference%20%3E%200.0)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Put%20both%20tasks%20on%20unit-SD%2C%20correctly-oriented%20decision%20margins.%20Correct%0A%20%20%20%20%23%20responses%20are%20to%20the%20right%20of%20zero%20in%20either%20distribution.%0A%20%20%20%20_margin_1i%20%3D%20np.where(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_is_signal%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_one_observation%20-%20_criterion_1i%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_criterion_1i%20-%20_one_observation%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_margin_2i%20%3D%20_raw_difference%20%2F%20_difference_sd%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(2%2C%202%2C%20figsize%3D(12.2%2C%208.0))%0A%20%20%20%20_fig.patch.set_facecolor(%22%23ffffff%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20One-interval%20geometry.%0A%20%20%20%20_x_1i%20%3D%20np.linspace(-4.2%2C%20_delta%20%2B%204.2%2C%20850)%0A%20%20%20%20_noise_density%20%3D%20normal_pdf(_x_1i%2C%200.0%2C%20_sigma)%0A%20%20%20%20_signal_density%20%3D%20normal_pdf(_x_1i%2C%20_delta%2C%20_sigma)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%200%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_1i%2C%20_noise_density%2C%20color%3D%22%232b6cb0%22%2C%20linewidth%3D2.2%2C%20label%3D%22Noise%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%200%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_1i%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_signal_density%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23d97706%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D2.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linestyle%3D%22--%22%20if%20_dprime%20%3D%3D%200%20else%20%22-%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Signal%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%200%5D.fill_between(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_1i%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_noise_density%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20where%3D_x_1i%20%3C%20_criterion_1i%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%232b6cb0%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.18%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%200%5D.fill_between(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_1i%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_signal_density%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20where%3D_x_1i%20%3E%20_criterion_1i%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23d97706%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.18%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%200%5D.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_criterion_1i%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.8%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%200%5D.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_criterion_1i%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.415%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22criterion%20%24%5CDelta%2F2%3D%7B_criterion_1i%3A.2f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%235b21b6%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D9%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%200%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Drf%221I%20%2F%20yes-no%3A%20%24P_C%3D%5CPhi(d'%2F2)%3D%7B_theory_1i%3A.3f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22one%20evidence%20observation%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22density%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(0%2C%200.45)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%200%5D.legend(frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D8.5%2C%20ncols%3D2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20In%202I%2C%20D%3DX2-X1%20has%20means%20%2B%2F-Delta%20depending%20on%20target%20location.%0A%20%20%20%20_difference_limit%20%3D%20_delta%20%2B%204.8%20*%20_difference_sd%0A%20%20%20%20_x_difference%20%3D%20np.linspace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-_difference_limit%2C%20_difference_limit%2C%20950%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_target_first_density%20%3D%20normal_pdf(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_difference%2C%20-_delta%2C%20_difference_sd%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_target_second_density%20%3D%20normal_pdf(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_difference%2C%20_delta%2C%20_difference_sd%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%201%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_difference%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_target_first_density%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%232b6cb0%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D2.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22target%20in%20I1%3A%20%24E%5BD%5D%3D-%5CDelta%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%201%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_difference%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_target_second_density%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23d97706%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D2.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linestyle%3D%22--%22%20if%20_dprime%20%3D%3D%200%20else%20%22-%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22target%20in%20I2%3A%20%24E%5BD%5D%3D%2B%5CDelta%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%201%5D.fill_between(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_difference%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_target_first_density%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20where%3D_x_difference%20%3C%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%232b6cb0%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.18%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%201%5D.fill_between(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_difference%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_target_second_density%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20where%3D_x_difference%20%3E%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23d97706%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.18%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%201%5D.axvline(0%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.8)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%201%5D.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.295%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22choose%20I2%20if%20D%20%3E%200%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%235b21b6%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D9%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%201%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Drf%222I%20difference%3A%20%24d'_D%3D%5Csqrt%7B%7B2%7D%7Dd'%3D%7Bnp.sqrt(2)*_dprime%3A.2f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22difference%20%24D%3DX_2-X_1%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22density%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(0%2C%200.32)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%201%5D.legend(frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D8.2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Simulation%3A%20orient%20both%20variables%20so%20correct%20is%20right%20of%20zero%2C%20then%0A%20%20%20%20%23%20standardize%20each%20by%20its%20own%20SD%20for%20an%20apples-to-apples%20comparison.%0A%20%20%20%20_margin_limit%20%3D%20max(4.2%2C%20_dprime%20%2F%20np.sqrt(2.0)%20%2B%204.0)%0A%20%20%20%20_margin_bins%20%3D%20np.linspace(-4.2%2C%20_margin_limit%2C%2075)%0A%20%20%20%20_margin_x%20%3D%20np.linspace(-4.2%2C%20_margin_limit%2C%20700)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%2C%200%5D.hist(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_margin_1i%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bins%3D_margin_bins%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20density%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20histtype%3D%22step%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%232b6cb0%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.65%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%2C%200%5D.hist(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_margin_2i%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bins%3D_margin_bins%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20density%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20histtype%3D%22step%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%2316846b%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.65%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%2C%200%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_margin_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20normal_pdf(_margin_x%2C%20_dprime%20%2F%202.0%2C%201.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%232b6cb0%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D2.3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%221I%20margin%3A%20mean%20%24d'%2F2%3D%7B_dprime%2F2%3A.2f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%2C%200%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_margin_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20normal_pdf(_margin_x%2C%20_dprime%20%2F%20np.sqrt(2.0)%2C%201.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%2316846b%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D2.3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%222I%20margin%3A%20mean%20%24d'%2F%5Csqrt%7B%7B2%7D%7D%3D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%7B_dprime%2Fnp.sqrt(2)%3A.2f%7D%24%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%2C%200%5D.axvline(0%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.7)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%2C%200%5D.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.415%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22correct%20%E2%86%92%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22left%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%235b21b6%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D9%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%2C%200%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Simulation%3A%20standardized%20correct-decision%20margins%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22margin%20in%20its%20own%20SD%20units%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22density%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(0%2C%200.45)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%2C%200%5D.legend(frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D8.3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20The%20theoretical%20accuracy%20functions%20plus%20the%20current%20Monte%20Carlo%20result.%0A%20%20%20%20_dprime_grid%20%3D%20np.linspace(0%2C%203.5%2C%20250)%0A%20%20%20%20_accuracy_1i_grid%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bnormal.cdf(float(_value)%20%2F%202.0)%20for%20_value%20in%20_dprime_grid%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_accuracy_2i_grid%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bnormal.cdf(float(_value)%20%2F%20np.sqrt(2.0))%20for%20_value%20in%20_dprime_grid%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%2C%201%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dprime_grid%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_accuracy_1i_grid%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%232b6cb0%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D2.4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%221I%20theory%3A%20%24%5CPhi(d'%2F2)%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%2C%201%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dprime_grid%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_accuracy_2i_grid%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%2316846b%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D2.4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%222I%20theory%3A%20%24%5CPhi(d'%2F%5Csqrt%7B2%7D)%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%2C%201%5D.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_dprime%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_simulated_1i%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D75%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidths%3D2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%232b6cb0%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%221I%20simulation%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%2C%201%5D.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_dprime%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_simulated_2i%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D75%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidths%3D2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%2316846b%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%222I%20simulation%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%2C%201%5D.axhline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.5%2C%20color%3D%22%23aab3c2%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.1%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%2C%201%5D.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dprime%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20linewidth%3D1.2%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%2C%201%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Two%20intervals%20gain%20accuracy%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22underlying%20sensory%20%24d'%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22proportion%20correct%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(0%2C%203.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(0.48%2C%201.005)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%2C%201%5D.legend(frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D8.0%2C%20ncols%3D2)%0A%0A%20%20%20%20for%20_axis%20in%20_axes.flat%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.spines%5B%5B%22top%22%2C%20%22right%22%5D%5D.set_visible(False)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.grid(alpha%3D0.12)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%200%5D.set_yticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%201%5D.set_yticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout(h_pad%3D2.2%2C%20w_pad%3D1.7)%0A%0A%20%20%20%20_gain_theory%20%3D%20_theory_2i%20-%20_theory_1i%0A%20%20%20%20_gain_simulated%20%3D%20_simulated_2i%20-%20_simulated_1i%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Task%20%7C%20Analytical%20accuracy%20%7C%20Simulated%20accuracy%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%3A--%7C--%3A%7C--%3A%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%201I%20%2F%20yes-no%20%7C%20%24%5CPhi(d'%2F2)%24%20%3D%20%7B_theory_1i%3A.4f%7D%20%7C%20%7B_simulated_1i%3A.4f%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%202I%E2%80%932AFC%20%7C%20%24%5CPhi(d'%2F%5Csqrt%7B%7B2%7D%7D)%24%20%3D%20%7B_theory_2i%3A.4f%7D%20%7C%20%7B_simulated_2i%3A.4f%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20**2I%20improvement**%20%7C%20**%7B_gain_theory%3A%2B.4f%7D**%20%7C%20**%7B_gain_simulated%3A%2B.4f%7D**%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20simulation%20uses%20%7B_n_trials%3A%2C%7D%20trials%20per%20task%20and%20a%20fixed%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20random%20seed.%20The%20upper-right%20raw%20difference%20distributions%20are%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**wider**%20because%20%24SD(D)%3D%5Csqrt%7B%7B2%7D%7D%5Csigma%24.%20The%20lower-left%20panel%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20divides%20each%20task's%20decision%20margin%20by%20its%20own%20SD%3A%20both%20curves%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20then%20have%20unit%20width%2C%20and%20the%202I%20curve%20sits%20farther%20to%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20right.%20Its%20larger%20area%20beyond%20zero%20is%20the%20accuracy%20advantage.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Show%20the%20minimal%20reproducible%20simulation%22%3A%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20This%20is%20the%20numerical%20core%20used%20above.%20Change%20%60dprime%60%20and%20run%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20it%20again%3B%20the%20plotting%20code%20only%20visualizes%20these%20same%20decision%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20variables%20and%20probabilities.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%60%60%60python%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20from%20statistics%20import%20NormalDist%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rng%20%3D%20np.random.default_rng(20260914)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20n_trials%20%3D%2060_000%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sigma%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dprime%20%3D%201.6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20delta%20%3D%20dprime%20*%20sigma%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%201I%20%2F%20yes-no%3A%20classify%20one%20observation%20relative%20to%20%CE%94%2F2.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20is_signal%20%3D%20rng.integers(0%2C%202%2C%20size%3Dn_trials).astype(bool)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%20%3D%20rng.normal(0.0%2C%20sigma%2C%20size%3Dn_trials)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%20%3D%20x%20%2B%20is_signal%20*%20delta%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20says_signal%20%3D%20x%20%3E%20delta%20%2F%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pc_1i_sim%20%3D%20np.mean(says_signal%20%3D%3D%20is_signal)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%202I%E2%80%932AFC%3A%20compare%20an%20independent%20S%20observation%20with%20N.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20signal%20%3D%20rng.normal(delta%2C%20sigma%2C%20size%3Dn_trials)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20noise%20%3D%20rng.normal(0.0%2C%20sigma%2C%20size%3Dn_trials)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20difference%20%3D%20signal%20-%20noise%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pc_2i_sim%20%3D%20np.mean(difference%20%3E%200)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Analytical%20predictions.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi%20%3D%20NormalDist().cdf%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pc_1i_theory%20%3D%20phi(dprime%20%2F%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pc_2i_theory%20%3D%20phi(dprime%20%2F%20np.sqrt(2))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%221I%3A%20simulation%3D%7Bpc_1i_sim%3A.4f%7D%2C%20theory%3D%7Bpc_1i_theory%3A.4f%7D%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%222I%3A%20simulation%3D%7Bpc_2i_sim%3A.4f%7D%2C%20theory%3D%7Bpc_2i_theory%3A.4f%7D%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%60%60%60%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20This%20%24%5Csqrt%7B2%7D%24%20relationship%20assumes%20independent%20interval%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20observations%2C%20equal%20Gaussian%20variances%2C%20an%20optimal%20rule%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20and%20no%20interval%20bias.%20Lapses%2C%20unequal%20variance%2C%20correlated%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20interval%20noise%2C%20or%20order%20effects%20require%20a%20richer%20model.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Endnote%20for%20real%20analyses%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20equations%20above%20are%20for%20understanding%20the%20geometry%2C%20**not%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20recommended%20production%20analysis%20pipeline**.%20For%20actual%20data%2C%20use%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tested%20toolbox%20such%20as%20%5BPalamedes%5D(https%3A%2F%2Fwww.palamedestoolbox.org%2F)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(MATLAB%2FPython%3B%20psychometric%20and%20signal-detection%20routines)%20or%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5BsensR%5D(https%3A%2F%2FCRAN.R-project.org%2Fpackage%3DsensR)%20(R%3B%20SDT%20estimates%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20uncertainty%2C%20and%20discrimination-test%20models).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20toolbox%20will%20make%20conventions%2C%20finite-sample%20corrections%2C%20uncertainty%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20model%20assumptions%20more%20explicit.%20For%20sparse%2C%20repeated-measures%2C%20or%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hierarchical%20data%2C%20prefer%20a%20likelihood-based%20SDT%20model%20with%20appropriate%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diagnostics%20over%20applying%20these%20plug-in%20formulae%20row%20by%20row.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22warn%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20naka_n%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D6.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Exponent%20%24n%24%20(steepness)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20naka_c50%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D0.95%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.30%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Semisaturation%20%24C_%7B50%7D%24%20(half-maximum%20input)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20naka_dmax%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D6.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D3.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Maximum%20sensitivity%20%24d'_%7B%5Cmax%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20naka_controls%20%3D%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bnaka_n%2C%20naka_c50%2C%20naka_dmax%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D0.55%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20naka_c50%2C%20naka_controls%2C%20naka_dmax%2C%20naka_n%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20naka_c50%2C%20naka_controls%2C%20naka_dmax%2C%20naka_n%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_n%20%3D%20naka_n.value%0A%20%20%20%20_c50%20%3D%20naka_c50.value%0A%20%20%20%20_dmax%20%3D%20naka_dmax.value%0A%20%20%20%20_contrast%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%201.0%2C%20700)%0A%0A%20%20%20%20def%20_naka_rushton(c%2C%20n%2C%20c50%2C%20dmax)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20dmax%20*%20(c**n)%20%2F%20(c**n%20%2B%20c50**n)%0A%0A%20%20%20%20_current%20%3D%20_naka_rushton(_contrast%2C%20_n%2C%20_c50%2C%20_dmax)%0A%20%20%20%20_half_max%20%3D%20_dmax%20%2F%202.0%0A%0A%20%20%20%20_n_values%20%3D%20%5Bmax(0.5%2C%20_n%20-%200.75)%2C%20_n%2C%20min(6.0%2C%20_n%20%2B%200.75)%5D%0A%20%20%20%20_c50_values%20%3D%20%5Bmax(0.05%2C%20_c50%20-%200.15)%2C%20_c50%2C%20min(0.95%2C%20_c50%20%2B%200.15)%5D%0A%20%20%20%20_dmax_values%20%3D%20%5Bmax(0.5%2C%20_dmax%20-%201.0)%2C%20_dmax%2C%20min(6.0%2C%20_dmax%20%2B%201.0)%5D%0A%20%20%20%20_comparison_colors%20%3D%20%5B%22%232b6cb0%22%2C%20%22%237c3aed%22%2C%20%22%23d97706%22%5D%0A%20%20%20%20_comparison_widths%20%3D%20%5B1.7%2C%202.8%2C%201.7%5D%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(2%2C%202%2C%20figsize%3D(11%2C%208.0))%0A%20%20%20%20_fig.patch.set_facecolor(%22%23ffffff%22)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%200%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_contrast%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_current%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D3.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22current%20curve%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%200%5D.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_c50%2C%20color%3D%22%23d97706%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.7%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%200%5D.axhline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_half_max%2C%20color%3D%22%23d97706%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.2%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%200%5D.axhline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dmax%2C%20color%3D%22%235f6b7c%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20linewidth%3D1.4%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%200%5D.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_c50%5D%2C%20%5B_half_max%5D%2C%20s%3D70%2C%20color%3D%22%23d97706%22%2C%20zorder%3D4%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%200%5D.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_c50%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_half_max%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%20%20%24C_%7B%7B50%7D%7D%3D%7B_c50%3A.2f%7D%2C%5C%20d'%3Dd'_%7B%7B%5Cmax%7D%7D%2F2%3D%7B_half_max%3A.2f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22left%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20va%3D%22bottom%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23a34f05%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D8.7%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%200%5D.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.985%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dmax%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%24d'_%7B%7B%5Cmax%7D%7D%3D%7B_dmax%3A.2f%7D%24%20%20%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20va%3D%22bottom%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234b5563%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D8.7%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%200%5D.set(title%3D%22Current%20Naka%E2%80%93Rushton%20curve%22)%0A%0A%20%20%20%20for%20_value%2C%20_color%2C%20_width%20in%20zip(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_n_values%2C%20_comparison_colors%2C%20_comparison_widths%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B0%2C%201%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_contrast%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_naka_rushton(_contrast%2C%20_value%2C%20_c50%2C%20_dmax)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D_width%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22%24n%3D%7B_value%3A.2f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%201%5D.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_c50%5D%2C%20%5B_half_max%5D%2C%20color%3D%22%23182338%22%2C%20s%3D32%2C%20zorder%3D4%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C%201%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Drf%22Vary%20%24n%24%3B%20all%20curves%20cross%20at%20%24C_%7B%7B50%7D%7D%3D%7B_c50%3A.2f%7D%24%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20for%20_value%2C%20_color%2C%20_width%20in%20zip(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_c50_values%2C%20_comparison_colors%2C%20_comparison_widths%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B1%2C%200%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_contrast%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_naka_rushton(_contrast%2C%20_n%2C%20_value%2C%20_dmax)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D_width%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22%24C_%7B%7B50%7D%7D%3D%7B_value%3A.2f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B1%2C%200%5D.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_value%5D%2C%20%5B_half_max%5D%2C%20color%3D_color%2C%20s%3D26%2C%20zorder%3D4%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%2C%200%5D.set(title%3Dr%22Vary%20%24C_%7B50%7D%24%3A%20move%20the%20curve%20left%20or%20right%22)%0A%0A%20%20%20%20for%20_value%2C%20_color%2C%20_width%20in%20zip(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dmax_values%2C%20_comparison_colors%2C%20_comparison_widths%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B1%2C%201%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_contrast%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_naka_rushton(_contrast%2C%20_n%2C%20_c50%2C%20_value)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D_width%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22%24d'_%7B%7B%5Cmax%7D%7D%3D%7B_value%3A.2f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B1%2C%201%5D.axhline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_value%2C%20color%3D_color%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20linewidth%3D0.8%2C%20alpha%3D0.65%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%2C%201%5D.set(title%3Dr%22Vary%20%24d'_%7B%5Cmax%7D%24%3A%20raise%20or%20lower%20the%20ceiling%22)%0A%0A%20%20%20%20_upper_y%20%3D%20max(1.0%2C%20max(_dmax_values)%20*%201.13)%0A%20%20%20%20for%20_axis%20in%20_axes.flat%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22normalized%20contrast%20or%20intensity%20c%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22sensitivity%20%24d'(c)%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(0%2C%201.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(0%2C%20_upper_y)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.spines%5B%5B%22top%22%2C%20%22right%22%5D%5D.set_visible(False)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.grid(alpha%3D0.14)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.legend(frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D8.0)%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout(h_pad%3D2.1%2C%20w_pad%3D1.6)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Final%20endnote%3A%20the%20Naka%E2%80%93Rushton%20equation%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20common%20way%20to%20describe%20how%20sensitivity%20grows%20and%20then%20saturates%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20with%20stimulus%20contrast%20or%20intensity%20is%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20d'(c)%3Dd'_%7B%5Cmax%7D%5Cfrac%7Bc%5En%7D%7Bc%5En%2BC_%7B50%7D%5En%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Here%20%24c%24%20is%20normalized%20stimulus%20contrast%20or%20intensity.%20Adjust%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20three%20parameters%20directly%20above%20the%20graph.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20naka_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Read%20the%20parameters%20visually%3A**%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24d'_%7B%7B%5Cmax%7D%7D%3D%7B_dmax%3A.2f%7D%24%20is%20the%20upper%20asymptote%3A%20it%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20scales%20the%20curve%20vertically.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24C_%7B%7B50%7D%7D%3D%7B_c50%3A.2f%7D%24%20is%20the%20input%20at%20exactly%20half%20that%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20maximum.%20Consequently%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24d'(C_%7B%7B50%7D%7D)%3Dd'_%7B%7B%5Cmax%7D%7D%2F2%3D%7B_half_max%3A.2f%7D%24%20regardless%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20of%20%24n%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24n%3D%7B_n%3A.2f%7D%24%20controls%20steepness.%20Larger%20%24n%24%20makes%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20transition%20around%20%24C_%7B%7B50%7D%7D%24%20sharper%3B%20smaller%20%24n%24%20makes%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20it%20more%20gradual.%20It%20does%20not%20change%20the%20half-maximum%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20crossing%20or%20the%20asymptotic%20ceiling.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20three%20comparison%20panels%20vary%20one%20parameter%20around%20its%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20current%20slider%20value%20while%20holding%20the%20other%20two%20fixed.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20In%20real%20data%20analysis%2C%20these%20parameters%20should%20be%20fitted%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20jointly%20with%20uncertainty%20rather%20than%20selected%20by%20eye.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A