likelihood population tutorial

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%22marimo%3E%3D0.23.9%22%2C%20%22anywidget%3E%3D0.11.0%22%2C%20%22traitlets%3D%3D5.14.3%22%2C%20%22matplotlib%3D%3D3.10.8%22%2C%20%22numpy%3D%3D2.4.3%22%5D%0A%23%20%0A%23%20%5Btool.marimo.export%5D%0A%23%20lock_kind%20%3D%20%22observed%22%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.23.9%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22full%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20math%0A%20%20%20%20from%20statistics%20import%20NormalDist%0A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20from%20matplotlib.patches%20import%20Rectangle%0A%0A%20%20%20%20normal%20%3D%20NormalDist()%0A%0A%20%20%20%20def%20circular_delta(a%2C%20b)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Signed%20a-b%20distance%20in%20degrees%2C%20wrapped%20to%20%5B-180%2C%20180).%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(np.asarray(a)%20-%20np.asarray(b)%20%2B%20180.0)%20%25%20360.0%20-%20180.0%0A%0A%20%20%20%20def%20direction_tuning(stimuli%2C%20preferences%2C%20kappa%3D2.2)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Unit-height%20von%20Mises%20tuning%2C%20with%20broadcasting%20over%20stimuli.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stimuli%20%3D%20np.asarray(stimuli%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20preferences%20%3D%20np.asarray(preferences%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20delta%20%3D%20np.deg2rad(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20circular_delta(stimuli%5B...%2C%20np.newaxis%5D%2C%20preferences)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.exp(kappa%20*%20(np.cos(delta)%20-%201.0))%0A%0A%20%20%20%20def%20relative_likelihood(log_values)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20shifted%20%3D%20np.asarray(log_values)%20-%20np.max(log_values)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.exp(shifted)%0A%0A%20%20%20%20def%20clean_axes(axes%2C%20grid%3DTrue)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20axis%20in%20np.atleast_1d(axes).flat%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis.spines%5B%5B%22top%22%2C%20%22right%22%5D%5D.set_visible(False)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20grid%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis.grid(alpha%3D0.13)%0A%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Rectangle%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20circular_delta%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20clean_axes%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20direction_tuning%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20math%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20normal%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20relative_likelihood%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.Html(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cstyle%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Aroot%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20--ink%3A%20%23182338%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20--muted%3A%20%235f6b7c%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20--paper%3A%20%23f6f3ec%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20--card%3A%20%23ffffff%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20--line%3A%20%23dce3ec%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20--spike%3A%20%23d97706%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20--likelihood%3A%20%237c3aed%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20--tuning%3A%20%232563a8%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20--teal%3A%20%2316846b%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20--coral%3A%20%23cf5c5c%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20body%20%7B%20background%3A%20var(--paper)%3B%20color%3A%20var(--ink)%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.likelihood-hero%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3A%200%200%201.25rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20padding%3A%202.15rem%202.35rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border-radius%3A%2018px%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3A%20white%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20background%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20radial-gradient(circle%20at%2086%25%2018%25%2C%20rgba(255%2C255%2C255%2C.12)%2C%20transparent%2023%25)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linear-gradient(125deg%2C%20%2317233a%2C%20%2330466d)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20box-shadow%3A%200%2012px%2034px%20rgba(24%2C%2035%2C%2056%2C%20.13)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.likelihood-hero%20h1%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3A%200%200%20.55rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3A%20white%20!important%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20font-family%3A%20Georgia%2C%20%22Times%20New%20Roman%22%2C%20serif%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20font-size%3A%20clamp(2rem%2C%204vw%2C%203.25rem)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line-height%3A%201.06%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.likelihood-hero%20p%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20max-width%3A%20900px%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3A%200%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3A%20%23dbe4f2%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line-height%3A%201.58%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.lesson-card%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20padding%3A%201.05rem%201.3rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3A%20.7rem%200%201.15rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border%3A%201px%20solid%20var(--line)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border-radius%3A%2014px%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20background%3A%20var(--card)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.formula-card%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20padding%3A%20.9rem%201.15rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border-left%3A%204px%20solid%20var(--likelihood)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border-radius%3A%205px%2012px%2012px%205px%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20background%3A%20%23f4f0ff%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.concept-chain%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20display%3A%20grid%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20grid-template-columns%3A%20repeat(4%2C%20minmax(0%2C%201fr))%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3A%20.65rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3A%20.8rem%200%201.1rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.concept-step%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20position%3A%20relative%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20min-height%3A%2092px%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20padding%3A%20.8rem%20.9rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border%3A%201px%20solid%20var(--line)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border-top%3A%204px%20solid%20var(--tuning)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border-radius%3A%2011px%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20background%3A%20white%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.concept-step%3Anth-child(2)%20%7B%20border-top-color%3A%20var(--spike)%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.concept-step%3Anth-child(3)%20%7B%20border-top-color%3A%20var(--teal)%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.concept-step%3Anth-child(4)%20%7B%20border-top-color%3A%20var(--likelihood)%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.concept-step%20strong%20%7B%20display%3A%20block%3B%20margin-bottom%3A%20.25rem%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.concept-step%20span%20%7B%20color%3A%20var(--muted)%3B%20font-size%3A%20.86rem%3B%20line-height%3A%201.42%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.metric-row%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20display%3A%20grid%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20grid-template-columns%3A%20repeat(4%2C%20minmax(0%2C%201fr))%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3A%20.65rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3A%20.75rem%200%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.metric%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20padding%3A%20.72rem%20.82rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border%3A%201px%20solid%20var(--line)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border-radius%3A%2010px%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20background%3A%20white%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.metric%20strong%20%7B%20display%3A%20block%3B%20font-size%3A%201.18rem%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.metric%20span%20%7B%20color%3A%20var(--muted)%3B%20font-size%3A%20.78rem%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.small-note%20%7B%20color%3A%20var(--muted)%3B%20font-size%3A%20.88rem%3B%20line-height%3A%201.55%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20table%20%7B%20width%3A%20100%25%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20th%2C%20td%20%7B%20padding%3A%20.45rem%20.6rem%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.marimo-cell.interactive%20.console-output-area%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.marimo-cell.interactive%20.output-area%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20max-height%3A%20none%20!important%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20overflow%3A%20visible%20!important%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%40media%20(max-width%3A%20820px)%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.concept-chain%2C%20.metric-row%20%7B%20grid-template-columns%3A%201fr%201fr%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.likelihood-hero%20%7B%20padding%3A%201.5rem%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%40media%20(max-width%3A%20540px)%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.concept-chain%2C%20.metric-row%20%7B%20grid-template-columns%3A%201fr%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fstyle%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22likelihood-hero%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%3Ch1%3ELikelihood%20and%20population%20decoding%3C%2Fh1%3E%0A%20%20%20%20%20%20%3Cp%3EBegin%20by%20counting%20the%20outcomes%20of%20coin%20tosses.%20Then%20use%20the%20same%20probability%20rules%20to%20combine%20neural%20responses%2C%20compare%20possible%20stimuli%2C%20and%20understand%20perceptual%20decisions.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%0A%0A%20%20%20%20This%20tutorial%20accompanies%20Jazayeri%20%26%20Movshon%20(2006).%20All%20numerical%20examples%0A%20%20%20%20below%20are%20illustrative%20models%3B%20they%20do%20not%20reproduce%20recorded%20neural%20data.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%200.%20Start%20with%20two%20coin%20tosses%0A%0A%20%20%20%20Toss%20a%20**fair%20coin%20twice**%20and%20write%20down%20the%20results%20in%20order.%20Use%0A%20%20%20%20**H**%20for%20heads%20and%20**T**%20for%20tails.%20One%20trial%20consists%20of%20the%20pair%20of%0A%20%20%20%20tosses%3A%20**HT**%20means%20heads%20first%2C%20then%20tails.%0A%0A%20%20%20%20Each%20toss%20has%20probability%20%241%2F2%24%20of%20heads%20and%20%241%2F2%24%20of%20tails.%20We%20also%0A%20%20%20%20assume%20the%20tosses%20are%20**independent**%3A%20knowing%20the%20first%20result%20does%0A%20%20%20%20not%20change%20the%20probabilities%20for%20the%20second%20toss.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%200.1%20Count%20the%20possible%20outcomes%0A%0A%20%20%20%20The%20first%20toss%20has%20two%20possibilities.%20For%20**each**%20of%20them%2C%20the%20second%0A%20%20%20%20toss%20has%20two%20possibilities.%20Write%20them%20all%20out%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Ordered%20outcome%20%7C%20First%20toss%20%7C%20Second%20toss%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**HH**%20%7C%20Heads%20%7C%20Heads%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**HT**%20%7C%20Heads%20%7C%20Tails%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**TH**%20%7C%20Tails%20%7C%20Heads%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**TT**%20%7C%20Tails%20%7C%20Tails%20%7C%0A%0A%20%20%20%20There%20are%20**four%20equally%20likely%20outcomes**%20for%20these%20fair%2C%20independent%0A%20%20%20%20tosses.%20We%20can%20therefore%20find%20an%20event's%20probability%20by%20counting%20the%0A%20%20%20%20outcomes%20that%20satisfy%20it%20and%20dividing%20by%20four.%0A%0A%20%20%20%20-%20**First%20toss%20is%20heads%3A**%20HH%20and%20HT%20%E2%80%94%202%20out%20of%204%2C%20so%20%24P(H_1)%3D1%2F2%24.%0A%20%20%20%20-%20**Second%20toss%20is%20heads%3A**%20HH%20and%20TH%20%E2%80%94%202%20out%20of%204%2C%20so%20%24P(H_2)%3D1%2F2%24.%0A%20%20%20%20-%20**Both%20tosses%20are%20heads%3A**%20HH%20only%20%E2%80%94%201%20out%20of%204%2C%20so%20%24P(H_1%5Ctext%7B%20and%20%7DH_2)%3D1%2F4%24.%0A%0A%20%20%20%20Here%20%24H_1%24%20means%20%E2%80%9Cheads%20on%20toss%201%E2%80%9D%20and%20%24H_2%24%20means%20%E2%80%9Cheads%20on%20toss%202.%E2%80%9D%0A%20%20%20%20Each%20panel%20below%20contains%20the%20**same%20four%20outcomes**.%20The%20colored%0A%20%20%20%20squares%20show%20which%20outcomes%20belong%20to%20the%20event%20named%20above%20it.%0A%20%20%20%20Compare%20all%20three%20at%20once%3A%20**HH%20is%20the%20only%20outcome%20shared%20by%20the%0A%20%20%20%20first%20two%20events**%2C%20so%20it%20is%20the%20only%20colored%20square%20in%20the%20third%20panel.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(Rectangle%2C%20mo%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_outcomes%20%3D%20((%22HH%22%2C%20%22HT%22)%2C%20(%22TH%22%2C%20%22TT%22))%0A%20%20%20%20_events%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22First%20toss%20is%20heads%22%2C%20%22%232563a8%22%2C%20lambda%20row%2C%20column%3A%20row%20%3D%3D%200)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Second%20toss%20is%20heads%22%2C%20%22%23d97706%22%2C%20lambda%20row%2C%20column%3A%20column%20%3D%3D%200)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Both%20tosses%20are%20heads%22%2C%20%22%237c3aed%22%2C%20lambda%20row%2C%20column%3A%20row%20%3D%3D%200%20and%20column%20%3D%3D%200)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%203%2C%20figsize%3D(11.7%2C%203.4)%2C%20layout%3D%22constrained%22)%0A%20%20%20%20_fig.patch.set_facecolor(%22white%22)%0A%20%20%20%20for%20_axis%2C%20(_title%2C%20_color%2C%20_matches)%20in%20zip(_axes%2C%20_events)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_row%20in%20range(2)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_column%20in%20range(2)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_selected%20%3D%20_matches(_row%2C%20_column)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_count%20%2B%3D%20int(_selected)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.add_patch(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Rectangle(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(_column%2C%20_row)%2C%201%2C%201%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20facecolor%3D_color%20if%20_selected%20else%20%22%23f1f4f8%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22white%22%2C%20linewidth%3D3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_column%20%2B%200.5%2C%20_row%20%2B%200.5%2C%20_outcomes%5B_row%5D%5B_column%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%20fontsize%3D18%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22white%22%20if%20_selected%20else%20%22%235f6b7c%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontweight%3D%22bold%22%20if%20_selected%20else%20%22normal%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_probability%20%3D%20%221%2F2%22%20if%20_count%20%3D%3D%202%20else%20%221%2F4%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22%7B_title%7D%5Cn%7B_count%7D%20of%204%20outcomes%20%3D%20%7B_probability%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(0%2C%202)%2C%20ylim%3D(2%2C%200)%2C%20aspect%3D%22equal%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.set_xticks(%5B0.5%2C%201.5%5D%2C%20%5B%22Toss%202%3A%20H%22%2C%20%22Toss%202%3A%20T%22%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.set_yticks(%5B0.5%2C%201.5%5D%2C%20%5B%22Toss%201%3A%20H%22%2C%20%22Toss%201%3A%20T%22%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.tick_params(length%3D0%2C%20labelsize%3D9)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.title.set_size(11)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_spine%20in%20_axis.spines.values()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_spine.set_visible(False)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Now%20try%20it%20yourself.**%20In%20the%20interactive%20panel%20below%2C%20click%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20outcomes%20to%20include%20them%20in%20an%20event%20and%20watch%20its%20probability%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20update.%20The%20%E2%80%9CFirst%20toss%20H%2C%E2%80%9D%20%E2%80%9CSecond%20toss%20H%2C%E2%80%9D%20and%20%E2%80%9CBoth%20H%E2%80%9D%20buttons%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20reproduce%20the%20three%20panels%20above.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D0.6%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20anywidget%0A%20%20%20%20import%20traitlets%0A%0A%20%20%20%20class%20LikelihoodLab(anywidget.AnyWidget)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Browser%20graphics%20with%20state%20exposed%20to%20Python%20through%20marimo.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Inline%20assets%20keep%20the%20notebook%20portable%20in%20editable%20WASM%20exports.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Probability%20tables%20come%20from%20the%20Python%20response%20model%20below.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kind%20%3D%20traitlets.Unicode().tag(sync%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20probabilities%20%3D%20traitlets.List().tag(sync%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected%20%3D%20traitlets.List(traitlets.Int()%2C%20default_value%3D%5B0%5D).tag(sync%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20observed%20%3D%20traitlets.List(traitlets.Int()%2C%20default_value%3D%5B2%2C%202%2C%200%5D).tag(sync%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stage%20%3D%20traitlets.Int(0).tag(sync%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20direction%20%3D%20traitlets.Int(2).tag(sync%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20prior_odds%20%3D%20traitlets.Float(17.0).tag(sync%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20upward_prior%20%3D%20traitlets.Float(0.1).tag(sync%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_esm%20%3D%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%2F%20Shared%20browser%20view%20for%20the%20introductory%20marimo%20figures.%20No%20external%20JS%20libraries.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20function%20render(%7Bmodel%2C%20el%7D)%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20root%20%3D%20document.createElement('section')%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.className%20%3D%20'll-lab'%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.dataset.kind%20%3D%20model.get('kind')%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20el.append(root)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20directions%20%3D%20%5B'Leftward'%2C%20'Upward'%2C%20'Rightward'%5D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20responses%20%3D%20%5B'low'%2C%20'medium'%2C%20'high'%5D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20colors%20%3D%20%5B'%232563a8'%2C%20'%23bc6500'%2C%20'%2316846b'%5D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20purple%20%3D%20'%237440cb'%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20num%20%3D%20x%20%3D%3E%20Number(x.toFixed(4)).toString()%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20pct%20%3D%20x%20%3D%3E%20%60%24%7B(100%20*%20x).toFixed(1)%7D%25%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20winners%20%3D%20values%20%3D%3E%20directions.filter((_%2C%20i)%20%3D%3E%20Math.abs(values%5Bi%5D%20-%20Math.max(...values))%20%3C%201e-10).join('%20and%20')%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20factors%20%3D%20obs%20%3D%3E%20model.get('probabilities').map((table%2C%20n)%20%3D%3E%20table.map(row%20%3D%3E%20row%5Bobs%5Bn%5D%5D))%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20product%20%3D%20fs%20%3D%3E%20directions.map((_%2C%20d)%20%3D%3E%20fs.reduce((p%2C%20row)%20%3D%3E%20p%20*%20row%5Bd%5D%2C%201))%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20set%20%3D%20(key%2C%20value)%20%3D%3E%20%7B%20model.set(key%2C%20value)%3B%20model.save_changes()%3B%20%7D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20button%20%3D%20(text%2C%20attrs%20%3D%20'')%20%3D%3E%20%60%3Cbutton%20type%3D%22button%22%20%24%7Battrs%7D%3E%24%7Btext%7D%3C%2Fbutton%3E%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20axis%20%3D%20max%20%3D%3E%20%60%3Cdiv%20class%3D%22ll-axis%22%3E%3Cspan%3E0%3C%2Fspan%3E%3Cspan%3E%24%7Bnum(max%20%2F%202)%7D%3C%2Fspan%3E%3Cspan%3E%24%7Bnum(max)%7D%3C%2Fspan%3E%3C%2Fdiv%3E%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20function%20barRows(values%2C%20max%2C%20color%2C%20prefix%20%3D%20''%2C%20percent%20%3D%20false)%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%60%3Cdiv%20class%3D%22ll-bars%22%3E%24%7Bvalues.map((v%2C%20d)%20%3D%3E%20%60%3Cdiv%20class%3D%22ll-bar-row%22%20data-direction%3D%22%24%7Bd%7D%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cspan%3E%24%7Bdirections%5Bd%5D%7D%3C%2Fspan%3E%3Cdiv%20class%3D%22ll-track%22%3E%3Cdiv%20class%3D%22ll-fill%22%20data-bar%3D%22%24%7Bprefix%7D%24%7Bd%7D%22%20style%3D%22width%3A%24%7Bv%20%2F%20max%20*%20100%7D%25%3Bbackground%3A%24%7Bcolor%7D%22%3E%3C%2Fdiv%3E%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cstrong%20data-number%3D%22%24%7Bprefix%7D%24%7Bd%7D%22%3E%24%7Bpercent%20%3F%20pct(v)%20%3A%20num(v)%7D%3C%2Fstrong%3E%3C%2Fdiv%3E%60).join('')%7D%24%7Baxis(max)%7D%3C%2Fdiv%3E%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20function%20updateBars(prefix%2C%20values%2C%20max%2C%20percent%20%3D%20false)%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20values.forEach((v%2C%20d)%20%3D%3E%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector(%60%5Bdata-bar%3D%22%24%7Bprefix%7D%24%7Bd%7D%22%5D%60).style.width%20%3D%20%60%24%7Bv%20%2F%20max%20*%20100%7D%25%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector(%60%5Bdata-number%3D%22%24%7Bprefix%7D%24%7Bd%7D%22%5D%60).textContent%20%3D%20percent%20%3F%20pct(v)%20%3A%20num(v)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20let%20dispose%20%3D%20()%20%3D%3E%20%7B%7D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20(model.get('kind')%20%3D%3D%3D%20'coins')%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20outcomes%20%3D%20%5B'HH'%2C%20'HT'%2C%20'TH'%2C%20'TT'%5D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.innerHTML%20%3D%20%60%3Cdiv%20class%3D%22ll-kicker%22%3ECOUNT%20IT%20YOURSELF%3C%2Fdiv%3E%3Ch3%3EWhich%20outcomes%20belong%20to%20your%20event%3F%3C%2Fh3%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%3EClick%20a%20pair%20to%20include%20or%20exclude%20it.%20Each%20tile%20is%20one%20equally%20likely%20outcome%2C%20with%20probability%20%C2%BC.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22ll-coin-layout%22%3E%3Cdiv%20class%3D%22ll-coin-grid%22%3E%24%7Boutcomes.map((s%2C%20i)%20%3D%3E%20button(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%60%3Cspan%20class%3D%22ll-coin-pair%22%3E%3Ci%3E%24%7Bs%5B0%5D%7D%3C%2Fi%3E%3Ci%3E%24%7Bs%5B1%5D%7D%3C%2Fi%3E%3C%2Fspan%3E%3Cstrong%3E%24%7Bs%7D%3C%2Fstrong%3E%3Csmall%3Eprobability%20%C2%BC%3C%2Fsmall%3E%60%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%60data-outcome%3D%22%24%7Bi%7D%22%20aria-label%3D%22Include%20%24%7Bs%7D%20in%20the%20event%22%20aria-pressed%3D%22false%22%60)).join('')%7D%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22ll-count-card%22%3E%3Cspan%3ESELECTED%20OUTCOMES%3C%2Fspan%3E%3Cdiv%20class%3D%22ll-big%22%20data-count%3E%3C%2Fdiv%3E%3Cp%20data-sum%3E%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20data-selected%3E%3C%2Fp%3E%3Cdiv%20class%3D%22ll-count-strip%22%3E%24%7Boutcomes.map((s%2C%20i)%20%3D%3E%20%60%3Cspan%20data-strip%3D%22%24%7Bi%7D%22%3E%24%7Bs%7D%3C%2Fspan%3E%60).join('')%7D%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D%22ll-note%22%3EYou%20are%20choosing%20an%20event.%20The%20four%20outcome%20probabilities%20stay%20fixed.%3C%2Fp%3E%3C%2Fdiv%3E%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22ll-actions%22%3E%24%7Bbutton('First%20toss%20H'%2C%20'data-event%3D%220%2C1%22')%7D%24%7Bbutton('Second%20toss%20H'%2C%20'data-event%3D%220%2C2%22')%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%7Bbutton('Both%20H'%2C%20'data-event%3D%220%22')%7D%24%7Bbutton('All%20four'%2C%20'data-event%3D%220%2C1%2C2%2C3%22')%7D%24%7Bbutton('Clear'%2C%20'data-event%3D%22%22')%7D%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D%22ll-status%22%20aria-live%3D%22polite%22%20data-coin-status%3E%3C%2Fp%3E%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20function%20update()%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20selected%20%3D%20model.get('selected')%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20(let%20i%20%3D%200%3B%20i%20%3C%204%3B%20i%2B%2B)%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector(%60%5Bdata-outcome%3D%22%24%7Bi%7D%22%5D%60).setAttribute('aria-pressed'%2C%20selected.includes(i))%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector(%60%5Bdata-strip%3D%22%24%7Bi%7D%22%5D%60).classList.toggle('ll-on'%2C%20selected.includes(i))%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector('%5Bdata-count%5D').textContent%20%3D%20%60%24%7Bselected.length%7D%20%2F%204%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector('%5Bdata-sum%5D').textContent%20%3D%20%60Probability%20%3D%20%24%7Bnum(selected.length%20%2F%204)%7D%20%3D%20%24%7Bselected.length%20*%2025%7D%25%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector('%5Bdata-selected%5D').textContent%20%3D%20selected.length%20%3F%20selected.map(i%20%3D%3E%20outcomes%5Bi%5D).join('%20%2B%20')%20%3A%20'No%20outcomes%20selected'%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector('%5Bdata-coin-status%5D').textContent%20%3D%20selected.length%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3F%20%60%24%7Bselected.length%7D%20selected%20%24%7Bselected.length%20%3D%3D%3D%201%20%3F%20'outcome'%20%3A%20'outcomes'%7D%20%C3%97%20%C2%BC%20each%20%3D%20%24%7Bnum(selected.length%20%2F%204)%7D.%60%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3A%20'An%20event%20with%20no%20possible%20outcomes%20has%20probability%200.'%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.addEventListener('click'%2C%20e%20%3D%3E%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20b%20%3D%20e.target.closest('button')%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20(!b)%20return%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20(b.hasAttribute('data-event'))%20set('selected'%2C%20b.dataset.event%20%3F%20b.dataset.event.split('%2C').map(Number)%20%3A%20%5B%5D)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20(b.hasAttribute('data-outcome'))%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20i%20%3D%20Number(b.dataset.outcome)%2C%20old%20%3D%20model.get('selected')%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20set('selected'%2C%20old.includes(i)%20%3F%20old.filter(j%20%3D%3E%20j%20!%3D%3D%20i)%20%3A%20%5B...old%2C%20i%5D.sort())%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20model.on('change%3Aselected'%2C%20update)%3B%20update()%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dispose%20%3D%20()%20%3D%3E%20model.off('change%3Aselected'%2C%20update)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%20else%20if%20(model.get('kind')%20%3D%3D%3D%20'population')%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20function%20responseTable(n)%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20table%20%3D%20model.get('probabilities')%5Bn%5D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%60%3Cdiv%20class%3D%22ll-neuron%22%20style%3D%22--neuron%3A%24%7Bcolors%5Bn%5D%7D%22%3E%3Ch4%3ENeuron%20%24%7Bn%20%2B%201%7D%20%3Cspan%20data-response%3D%22%24%7Bn%7D%22%3E%3C%2Fspan%3E%3C%2Fh4%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctable%20class%3D%22ll-response-table%22%3E%3Ccaption%3EProbability%20of%20each%20response%2C%20given%20the%20direction%3C%2Fcaption%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cthead%3E%3Ctr%3E%3Cth%20scope%3D%22col%22%3EDirection%3C%2Fth%3E%24%7Bresponses.map((r%2C%20c)%20%3D%3E%20%60%3Cth%20scope%3D%22col%22%3E%24%7Bbutton(r%2C%20%60data-neuron%3D%22%24%7Bn%7D%22%20data-response-index%3D%22%24%7Bc%7D%22%20aria-label%3D%22Neuron%20%24%7Bn%20%2B%201%7D%3A%20observe%20%24%7Br%7D%22%60)%7D%3C%2Fth%3E%60).join('')%7D%3C%2Ftr%3E%3C%2Fthead%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctbody%3E%24%7Bdirections.map((d%2C%20row)%20%3D%3E%20%60%3Ctr%3E%3Cth%20scope%3D%22row%22%3E%24%7Bd%7D%3C%2Fth%3E%24%7Btable%5Brow%5D.map((p%2C%20c)%20%3D%3E%20%60%3Ctd%3E%24%7Bbutton(p.toFixed(2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%60data-neuron%3D%22%24%7Bn%7D%22%20data-response-index%3D%22%24%7Bc%7D%22%20style%3D%22--shade%3A%24%7B0.05%20%2B%20p%20*%20.4%7D%22%20aria-label%3D%22Neuron%20%24%7Bn%20%2B%201%7D%3A%20observe%20%24%7Bresponses%5Bc%5D%7D%3B%20probability%20%24%7Bp%7D%20given%20%24%7Bd.toLowerCase()%7D%22%60)%7D%3C%2Ftd%3E%60).join('')%7D%3C%2Ftr%3E%60).join('')%7D%3C%2Ftbody%3E%3C%2Ftable%3E%3C%2Fdiv%3E%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.innerHTML%20%3D%20%60%3Cdiv%20class%3D%22ll-kicker%22%3EA%20RECORDING%20%E2%86%92%20THREE%20LIKELIHOODS%20%E2%86%92%20THEIR%20PRODUCT%3C%2Fdiv%3E%3Ch3%3EClick%20the%20response%20you%20observed%3C%2Fh3%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%3EClick%20a%20column%20heading%20or%20a%20probability%20in%20each%20table.%20A%20whole%20column%20lights%20up%3A%20it%20compares%20the%20%3Cem%3Esame%20response%3C%2Fem%3E%20under%20all%20three%20directions.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22ll-actions%22%3E%24%7Bbutton('Worked%20example%3A%20high%20%C2%B7%20high%20%C2%B7%20low'%2C%20'data-pattern%3D%222%2C2%2C0%22')%7D%24%7Bbutton('Try%3A%20high%20%C2%B7%20low%20%C2%B7%20high'%2C%20'data-pattern%3D%222%2C0%2C2%22')%7D%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22ll-pop-grid%22%3E%3Cdiv%20class%3D%22ll-col-head%22%3EA%20%C2%B7%20Select%20the%20responses%3C%2Fdiv%3E%3Cdiv%20class%3D%22ll-col-head%22%3EB%20%C2%B7%20Read%20each%20likelihood%3C%2Fdiv%3E%3Cdiv%20class%3D%22ll-col-head%20ll-joint-head%22%3EC%20%C2%B7%20Multiply%20for%20each%20direction%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%7B%5B0%2C%201%2C%202%5D.map(n%20%3D%3E%20%60%24%7BresponseTable(n)%7D%3Cdiv%20class%3D%22ll-individual%22%20style%3D%22--neuron%3A%24%7Bcolors%5Bn%5D%7D%22%3E%3Ch4%20data-like-title%3D%22%24%7Bn%7D%22%3E%3C%2Fh4%3E%24%7BbarRows(%5B0%2C%200%2C%200%5D%2C%201%2C%20colors%5Bn%5D%2C%20%60n%24%7Bn%7D-%60)%7D%3Cp%20class%3D%22ll-note%22%3EP(observed%20response%20%7C%20direction)%3C%2Fp%3E%3C%2Fdiv%3E%60).join('')%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22ll-joint%22%3E%3Ch4%3EJoint%20likelihood%3C%2Fh4%3E%3Cp%20data-pattern-label%3E%3C%2Fp%3E%24%7BbarRows(%5B0%2C%200%2C%200%5D%2C%20.2%2C%20purple%2C%20'joint-')%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D%22ll-note%22%3EP(all%20three%20responses%20%7C%20direction)%3Cbr%3EAxis%20stays%20at%200%E2%80%930.20%20as%20you%20explore.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22ll-ratio%22%3E%3Cspan%3ERIGHTWARD%20%C3%B7%20LEFTWARD%3C%2Fspan%3E%3Cstrong%20data-ratio%3E%3C%2Fstrong%3E%3Cp%20data-ratio-meaning%3E%3C%2Fp%3E%3C%2Fdiv%3E%3C%2Fdiv%3E%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22ll-calculations%22%20data-calculations%3E%3C%2Fdiv%3E%3Cp%20class%3D%22ll-status%22%20aria-live%3D%22polite%22%20data-pop-status%3E%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D%22ll-note%22%3EThe%20product%20assumes%20independent%20responses%20given%20the%20direction.%20The%20ratio%20compares%20rightward%20with%20leftward%20only%3B%20upward%20can%20still%20win.%3C%2Fp%3E%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20function%20update()%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20obs%20%3D%20model.get('observed')%2C%20fs%20%3D%20factors(obs)%2C%20joint%20%3D%20product(fs)%2C%20ratio%20%3D%20joint%5B2%5D%20%2F%20joint%5B0%5D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelectorAll('%5Bdata-response-index%5D').forEach(b%20%3D%3E%20b.setAttribute('aria-pressed'%2C%20Number(b.dataset.responseIndex)%20%3D%3D%3D%20obs%5BNumber(b.dataset.neuron)%5D))%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20obs.forEach((r%2C%20n)%20%3D%3E%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector(%60%5Bdata-response%3D%22%24%7Bn%7D%22%5D%60).textContent%20%3D%20%60observed%20%24%7Bresponses%5Br%5D%7D%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector(%60%5Bdata-like-title%3D%22%24%7Bn%7D%22%5D%60).textContent%20%3D%20%60Neuron%20%24%7Bn%20%2B%201%7D%3A%20%24%7Bresponses%5Br%5D%7D%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20updateBars(%60n%24%7Bn%7D-%60%2C%20fs%5Bn%5D%2C%201)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20updateBars('joint-'%2C%20joint%2C%20.2)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector('%5Bdata-pattern-label%5D').textContent%20%3D%20obs.map(r%20%3D%3E%20responses%5Br%5D).join('%20%C2%B7%20')%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector('%5Bdata-ratio%5D').textContent%20%3D%20%60%24%7BNumber(ratio.toPrecision(3))%7D%C3%97%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector('%5Bdata-ratio-meaning%5D').textContent%20%3D%20Math.abs(ratio%20-%201)%20%3C%201e-10%20%3F%20'Equal%20support%20for%20these%20two%20directions.'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3A%20ratio%20%3E%201%20%3F%20'This%20pattern%20is%20more%20probable%20under%20rightward.'%20%3A%20'This%20pattern%20is%20more%20probable%20under%20leftward.'%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector('%5Bdata-calculations%5D').innerHTML%20%3D%20directions.map((d%2C%20i)%20%3D%3E%20%60%3Cdiv%3E%3Cstrong%3E%24%7Bd%7D%3C%2Fstrong%3E%3Cspan%3E%24%7Bfs.map((f%2C%20n)%20%3D%3E%20%60%3Cb%20style%3D%22color%3A%24%7Bcolors%5Bn%5D%7D%22%3E%24%7Bnum(f%5Bi%5D)%7D%3C%2Fb%3E%60).join('%20%C3%97%20')%7D%20%3D%20%3Cb%3E%24%7Bnum(joint%5Bi%5D)%7D%3C%2Fb%3E%3C%2Fspan%3E%3C%2Fdiv%3E%60).join('')%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector('%5Bdata-pop-status%5D').textContent%20%3D%20%60Neuron%201%20alone%3A%20%24%7Bwinners(fs%5B0%5D)%7D.%20All%20three%20together%3A%20%24%7Bwinners(joint)%7D.%20Largest%20likelihood%20wins%3B%20these%20are%20not%20posterior%20probabilities.%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.addEventListener('click'%2C%20e%20%3D%3E%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20b%20%3D%20e.target.closest('button')%3B%20if%20(!b)%20return%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20(b.hasAttribute('data-pattern'))%20set('observed'%2C%20b.dataset.pattern.split('%2C').map(Number))%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20(b.hasAttribute('data-response-index'))%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20obs%20%3D%20%5B...model.get('observed')%5D%3B%20obs%5BNumber(b.dataset.neuron)%5D%20%3D%20Number(b.dataset.responseIndex)%3B%20set('observed'%2C%20obs)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20model.on('change%3Aobserved'%2C%20update)%3B%20update()%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dispose%20%3D%20()%20%3D%3E%20model.off('change%3Aobserved'%2C%20update)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%20else%20if%20(model.get('kind')%20%3D%3D%3D%20'multiply')%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20let%20timer%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20fs%20%3D%20factors(%5B2%2C%202%2C%200%5D)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.innerHTML%20%3D%20%60%3Cdiv%20class%3D%22ll-kicker%22%3EWHY%20MULTIPLY%3F%20KEEP%20A%20FRACTION%20OF%20A%20FRACTION%3C%2Fdiv%3E%3Ch3%3EFollow%201%2C000%20trials%20through%20the%20three%20responses%3C%2Fh3%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%3EKeep%20the%20recording%20fixed%20at%20%3Cstrong%3Ehigh%20%C2%B7%20high%20%C2%B7%20low%3C%2Fstrong%3E.%20Choose%20a%20direction%2C%20then%20add%20one%20neuron's%20response%20at%20a%20time.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22ll-actions%22%3E%24%7Bdirections.map((d%2C%20i)%20%3D%3E%20button(d%2C%20%60data-candidate%3D%22%24%7Bi%7D%22%20aria-pressed%3D%22false%22%60)).join('')%7D%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22ll-stages%22%3E%24%7B%5B'All%20trials'%2C%20'N1%20high'%2C%20'%2B%20N2%20high'%2C%20'%2B%20N3%20low'%5D.map((label%2C%20i)%20%3D%3E%20button(%60%3Cspan%3E%24%7Blabel%7D%3C%2Fspan%3E%3Cstrong%20data-stage-count%3D%22%24%7Bi%7D%22%3E%3C%2Fstrong%3E%3Csmall%20data-stage-factor%3D%22%24%7Bi%7D%22%3E%3C%2Fsmall%3E%60%2C%20%60data-stage%3D%22%24%7Bi%7D%22%20aria-pressed%3D%22false%22%60)).join('')%7D%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22ll-dot-layout%22%3E%3Csvg%20class%3D%22ll-dots%22%20viewBox%3D%220%200%20400%20250%22%20role%3D%22img%22%20aria-label%3D%22Expected%20matching%20trials%20out%20of%201000%22%3E%24%7BArray.from(%7Blength%3A%201000%7D%2C%20(_%2C%20i)%20%3D%3E%20%60%3Ccircle%20cx%3D%22%24%7B(i%20%25%2040)%20*%2010%20%2B%205%7D%22%20cy%3D%22%24%7BMath.floor(i%20%2F%2040)%20*%2010%20%2B%205%7D%22%20r%3D%223.2%22%20%2F%3E%60).join('')%7D%3C%2Fsvg%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22ll-count-card%22%3E%3Cspan%20data-stage-caption%3E%3C%2Fspan%3E%3Cdiv%20class%3D%22ll-big%22%20data-stage-fraction%3E%3C%2Fdiv%3E%3Cp%20data-stage-product%3E%3C%2Fp%3E%3Cp%20data-stage-explain%3E%3C%2Fp%3E%3C%2Fdiv%3E%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22ll-actions%22%3E%24%7Bbutton('Start%20over'%2C%20'data-restart')%7D%24%7Bbutton('Next%20neuron%20%E2%86%92'%2C%20'data-next')%7D%24%7Bbutton('%E2%96%B6%20Play%20steps'%2C%20'data-play')%7D%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D%22ll-status%22%20aria-live%3D%22polite%22%20data-multiply-status%3E%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D%22ll-note%22%3EEach%20dot%20represents%20one%20expected%20trial.%20This%20is%20a%20count%20illustration%2C%20not%20a%20random%20simulation.%20Every%20step%20keeps%20the%20same%20denominator%20of%201%2C000.%3C%2Fp%3E%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20function%20stop()%20%7B%20clearTimeout(timer)%3B%20timer%20%3D%20undefined%3B%20root.querySelector('%5Bdata-play%5D').textContent%20%3D%20'%E2%96%B6%20Play%20steps'%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20function%20update()%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20d%20%3D%20model.get('direction')%2C%20stage%20%3D%20model.get('stage')%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20counts%20%3D%20%5B1000%5D%3B%20for%20(const%20f%20of%20fs)%20counts.push(counts.at(-1)%20*%20f%5Bd%5D)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelectorAll('%5Bdata-candidate%5D').forEach(b%20%3D%3E%20b.setAttribute('aria-pressed'%2C%20Number(b.dataset.candidate)%20%3D%3D%3D%20d))%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20(let%20i%20%3D%200%3B%20i%20%3C%204%3B%20i%2B%2B)%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector(%60%5Bdata-stage%3D%22%24%7Bi%7D%22%5D%60).setAttribute('aria-pressed'%2C%20i%20%3D%3D%3D%20stage)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector(%60%5Bdata-stage-count%3D%22%24%7Bi%7D%22%5D%60).textContent%20%3D%20Math.round(counts%5Bi%5D).toLocaleString()%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector(%60%5Bdata-stage-factor%3D%22%24%7Bi%7D%22%5D%60).textContent%20%3D%20i%20%3F%20%60%C3%97%20%24%7Bnum(fs%5Bi%20-%201%5D%5Bd%5D)%7D%20of%20previous%20group%60%20%3A%20%60%24%7Bdirections%5Bd%5D%7D%20trials%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelectorAll('circle').forEach((circle%2C%20i)%20%3D%3E%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20circle.style.fill%20%3D%20i%20%3C%20Math.round(counts%5Bstage%5D)%20%3F%20(stage%20%3F%20colors%5Bstage%20-%201%5D%20%3A%20'%2364748b')%20%3A%20'%23e5e9ef'%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector('%5Bdata-stage-caption%5D').textContent%20%3D%20stage%20%3D%3D%3D%203%20%3F%20'WHOLE%20PATTERN'%20%3A%20stage%20%3F%20%60FIRST%20%24%7Bstage%7D%20%24%7Bstage%20%3D%3D%3D%201%20%3F%20'RESPONSE'%20%3A%20'RESPONSES'%7D%60%20%3A%20'BEFORE%20SELECTING%20RESPONSES'%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector('%5Bdata-stage-fraction%5D').textContent%20%3D%20%60%24%7BMath.round(counts%5Bstage%5D)%7D%20%2F%201%2C000%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector('%5Bdata-stage-product%5D').textContent%20%3D%20stage%20%3F%20%60%24%7Bfs.slice(0%2C%20stage).map(f%20%3D%3E%20num(f%5Bd%5D)).join('%20%C3%97%20')%7D%20%3D%20%24%7Bnum(counts%5Bstage%5D%20%2F%201000)%7D%60%20%3A%20'Probability%20%3D%201'%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector('%5Bdata-stage-explain%5D').textContent%20%3D%20stage%20%3F%20%60Of%20the%20%24%7BMath.round(counts%5Bstage%20-%201%5D)%7D%20previous%20matches%2C%20%24%7Bnum(fs%5Bstage%20-%201%5D%5Bd%5D%20*%20100)%7D%25%20also%20match%20neuron%20%24%7Bstage%7D.%60%20%3A%20'All%20trials%20share%20the%20same%20candidate%20direction.'%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector('%5Bdata-next%5D').disabled%20%3D%20stage%20%3D%3D%3D%203%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector('%5Bdata-multiply-status%5D').textContent%20%3D%20stage%20%3D%3D%3D%203%20%3F%20%60Under%20%24%7Bdirections%5Bd%5D.toLowerCase()%7D%2C%20the%20whole%20pattern%20occurs%20on%20%24%7Bnum(counts%5B3%5D%20%2F%2010)%7D%25%20of%20trials%3A%20joint%20likelihood%20%24%7Bnum(counts%5B3%5D%20%2F%201000)%7D.%60%20%3A%20%60Step%20%24%7Bstage%7D%20of%203.%20Add%20the%20next%20response%20to%20see%20which%20trials%20remain.%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.addEventListener('click'%2C%20e%20%3D%3E%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20b%20%3D%20e.target.closest('button')%3B%20if%20(!b)%20return%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20(b.hasAttribute('data-play'))%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20(timer)%20%7B%20stop()%3B%20return%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20set('stage'%2C%200)%3B%20b.textContent%20%3D%20'Pause'%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20advance%20%3D%20()%20%3D%3E%20%7B%20const%20next%20%3D%20model.get('stage')%20%2B%201%3B%20set('stage'%2C%20next)%3B%20if%20(next%20%3C%203)%20timer%20%3D%20setTimeout(advance%2C%201100)%3B%20else%20stop()%3B%20%7D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20timer%20%3D%20setTimeout(advance%2C%201100)%3B%20return%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20stop()%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20(b.hasAttribute('data-candidate'))%20set('direction'%2C%20Number(b.dataset.candidate))%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20(b.hasAttribute('data-stage'))%20set('stage'%2C%20Number(b.dataset.stage))%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20(b.hasAttribute('data-restart'))%20set('stage'%2C%200)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20(b.hasAttribute('data-next'))%20set('stage'%2C%20Math.min(3%2C%20model.get('stage')%20%2B%201))%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20model.on('change%3Astage'%2C%20update)%3B%20model.on('change%3Adirection'%2C%20update)%3B%20update()%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dispose%20%3D%20()%20%3D%3E%20%7B%20stop()%3B%20model.off('change%3Astage'%2C%20update)%3B%20model.off('change%3Adirection'%2C%20update)%3B%20%7D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%20else%20if%20(model.get('kind')%20%3D%3D%3D%20'prior')%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20likelihood%20%3D%20product(factors(%5B2%2C%202%2C%200%5D))%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.innerHTML%20%3D%20%60%3Cdiv%20class%3D%22ll-kicker%22%3EOPTIONAL%20%C2%B7%20SAME%20RECORDING%2C%20DIFFERENT%20STARTING%20FREQUENCIES%3C%2Fdiv%3E%3Ch3%3ECan%20the%20prior%20overturn%20the%20likelihood%3F%3C%2Fh3%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%3EThe%20recording%20stays%20%3Cstrong%3Ehigh%20%C2%B7%20high%20%C2%B7%20low%3C%2Fstrong%3E.%20Move%20the%20slider%20to%20change%20how%20often%20each%20direction%20was%20shown%20%3Cem%3Ebefore%3C%2Fem%3E%20that%20recording.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Clabel%20class%3D%22ll-slider-label%22%3E%3Cspan%3ELeftward%20is%20%3Cstrong%20data-prior-odds%3E%3C%2Fstrong%3E%20as%20frequent%20as%20rightward%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cinput%20type%3D%22range%22%20min%3D%221%22%20max%3D%2235%22%20step%3D%220.5%22%20aria-label%3D%22Prior%20odds%20of%20leftward%20versus%20rightward%22%20%2F%3E%3C%2Flabel%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22ll-slider-ends%22%3E%3Cspan%3E1%C3%97%20%C2%B7%20equally%20frequent%20left%2Fright%3C%2Fspan%3E%3Cspan%3E35%C3%97%20%C2%B7%20leftward%20much%20more%20frequent%3C%2Fspan%3E%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22ll-actions%22%3E%24%7Bbutton('Equal%20frequencies%3A%20all%20three'%2C%20'data-equal')%7D%24%7Bbutton('Original%20prior%3A%2085%25%20%2F%2010%25%20%2F%205%25'%2C%20'data-original')%7D%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D%22ll-note%22%20data-upward-fixed%3E%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22ll-prior-panels%22%3E%3Cdiv%3E%3Ch4%3E1%20%C2%B7%20Prior%20%3Cspan%3Echanges%3C%2Fspan%3E%3C%2Fh4%3E%24%7BbarRows(%5B0%2C%200%2C%200%5D%2C%201%2C%20'%2364748b'%2C%20'prior-'%2C%20true)%7D%3Cp%20class%3D%22ll-note%22%3EProbability%20before%20the%20recording%3C%2Fp%3E%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22ll-fixed%22%3E%3Ch4%3E2%20%C2%B7%20Likelihood%20%3Cspan%3Estays%20fixed%3C%2Fspan%3E%3C%2Fh4%3E%24%7BbarRows(likelihood%2C%20.2%2C%20purple%2C%20'fixed-')%7D%3Cp%20class%3D%22ll-note%22%3EP(high%2C%20high%2C%20low%20%7C%20direction)%3Cbr%3ERightward%20%2F%20leftward%20%3D%2014%3C%2Fp%3E%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%3E%3Ch4%3E3%20%C2%B7%20Posterior%20%3Cspan%3Echanges%3C%2Fspan%3E%3C%2Fh4%3E%24%7BbarRows(%5B0%2C%200%2C%200%5D%2C%201%2C%20'%2316846b'%2C%20'posterior-'%2C%20true)%7D%3Cp%20class%3D%22ll-note%22%3EProbability%20after%20the%20recording%3C%2Fp%3E%3C%2Fdiv%3E%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D%22ll-status%22%20aria-live%3D%22polite%22%20data-prior-status%3E%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdetails%20class%3D%22ll-count-details%22%3E%3Csummary%3ESee%20the%20same%20calculation%20by%20counting%2030%2C000%20trials%3C%2Fsummary%3E%3Cdiv%20data-prior-counts%3E%3C%2Fdiv%3E%3C%2Fdetails%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20data-posterior-odds%3E%3C%2Fp%3E%3Cp%20class%3D%22ll-note%22%3ETry%2014%C3%97%20on%20the%20slider%3A%20the%20prior%20advantage%20for%20leftward%20exactly%20balances%20the%2014-fold%20likelihood%20advantage%20for%20rightward.%3C%2Fp%3E%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20function%20update()%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20odds%20%3D%20model.get('prior_odds')%2C%20upward%20%3D%20model.get('upward_prior')%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20prior%20%3D%20%5B(1%20-%20upward)%20*%20odds%20%2F%20(1%20%2B%20odds)%2C%20upward%2C%20(1%20-%20upward)%20%2F%20(1%20%2B%20odds)%5D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20weights%20%3D%20prior.map((p%2C%20d)%20%3D%3E%20p%20*%20likelihood%5Bd%5D)%2C%20total%20%3D%20weights.reduce((a%2C%20b)%20%3D%3E%20a%20%2B%20b%2C%200)%2C%20posterior%20%3D%20weights.map(p%20%3D%3E%20p%20%2F%20total)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector('input').value%20%3D%20odds%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector('%5Bdata-prior-odds%5D').textContent%20%3D%20%60%24%7Bnum(odds)%7D%C3%97%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector('%5Bdata-upward-fixed%5D').textContent%20%3D%20%60Upward%20stays%20at%20%24%7Bpct(upward)%7D.%20The%20slider%20splits%20the%20remaining%20%24%7Bpct(1%20-%20upward)%7D%20between%20leftward%20and%20rightward.%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20updateBars('prior-'%2C%20prior%2C%201%2C%20true)%3B%20updateBars('posterior-'%2C%20posterior%2C%201%2C%20true)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector('%5Bdata-prior-status%5D').textContent%20%3D%20%60Likelihood%20favors%20Rightward.%20Posterior%3A%20%24%7Bwinners(posterior)%7D%20%24%7Bwinners(posterior).includes('%20and%20')%20%3F%20'tie'%20%3A%20'has%20the%20highest%20probability'%7D.%20Rightward%20moves%20from%20%24%7Bpct(prior%5B2%5D)%7D%20before%20the%20recording%20to%20%24%7Bpct(posterior%5B2%5D)%7D%20after%20it.%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector('%5Bdata-posterior-odds%5D').textContent%20%3D%20%60Posterior%20odds%20(rightward%20%3A%20leftward)%20%3D%20likelihood%20ratio%20%C3%97%20prior%20odds%20%3D%2014%20%C3%97%20(1%20%2F%20%24%7Bnum(odds)%7D)%20%3D%20%24%7Bnum(14%20%2F%20odds)%7D.%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector('%5Bdata-prior-counts%5D').innerHTML%20%3D%20%60%3Ctable%3E%3Cthead%3E%3Ctr%3E%3Cth%3EDirection%3C%2Fth%3E%3Cth%3ETrials%20shown%3C%2Fth%3E%3Cth%3E%C3%97%20likelihood%3C%2Fth%3E%3Cth%3EExpected%20matches%3C%2Fth%3E%3Cth%3EShare%20of%20matches%3C%2Fth%3E%3C%2Ftr%3E%3C%2Fthead%3E%3Ctbody%3E%24%7Bdirections.map((d%2C%20i)%20%3D%3E%20%60%3Ctr%3E%3Cth%3E%24%7Bd%7D%3C%2Fth%3E%3Ctd%3E%24%7B(prior%5Bi%5D%20*%2030000).toLocaleString(undefined%2C%20%7BmaximumFractionDigits%3A%201%7D)%7D%3C%2Ftd%3E%3Ctd%3E%24%7Bnum(likelihood%5Bi%5D)%7D%3C%2Ftd%3E%3Ctd%3E%24%7B(weights%5Bi%5D%20*%2030000).toLocaleString(undefined%2C%20%7BmaximumFractionDigits%3A%201%7D)%7D%3C%2Ftd%3E%3Ctd%3E%24%7Bpct(posterior%5Bi%5D)%7D%3C%2Ftd%3E%3C%2Ftr%3E%60).join('')%7D%3C%2Ftbody%3E%3C%2Ftable%3E%3Cp%3EDivide%20each%20expected%20match%20count%20by%20the%20total%2C%20%24%7B(total%20*%2030000).toLocaleString(undefined%2C%20%7BmaximumFractionDigits%3A%201%7D)%7D%2C%20to%20get%20its%20posterior%20probability.%20Counts%20are%20rounded%20for%20display.%3C%2Fp%3E%60%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.querySelector('input').addEventListener('input'%2C%20e%20%3D%3E%20set('prior_odds'%2C%20Number(e.target.value)))%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20root.addEventListener('click'%2C%20e%20%3D%3E%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20const%20b%20%3D%20e.target.closest('button')%3B%20if%20(!b)%20return%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20(b.hasAttribute('data-equal'))%20%7B%20set('upward_prior'%2C%201%20%2F%203)%3B%20set('prior_odds'%2C%201)%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20(b.hasAttribute('data-original'))%20%7B%20set('upward_prior'%2C%20.1)%3B%20set('prior_odds'%2C%2017)%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20model.on('change%3Aprior_odds'%2C%20update)%3B%20model.on('change%3Aupward_prior'%2C%20update)%3B%20update()%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dispose%20%3D%20()%20%3D%3E%20%7B%20model.off('change%3Aprior_odds'%2C%20update)%3B%20model.off('change%3Aupward_prior'%2C%20update)%3B%20%7D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20()%20%3D%3E%20%7B%20dispose()%3B%20root.remove()%3B%20%7D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20export%20default%20%7Brender%7D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_css%20%3D%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20%7B%20--ll-ink%3A%23182338%3B%20--ll-muted%3A%2358677b%3B%20color%3Avar(--ll-ink)%3B%20background%3A%23fff%3B%20border%3A1px%20solid%20%23dce3ec%3B%20border-radius%3A18px%3B%20padding%3Aclamp(16px%2C2.5vw%2C32px)%3B%20margin%3A12px%200%3B%20font%3A15px%2F1.55%20system-ui%2Csans-serif%3B%20box-shadow%3A0%208px%2028px%20%2318233809%3B%20container-type%3Ainline-size%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20*%20%7B%20box-sizing%3Aborder-box%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20h3%20%7B%20font%3A700%20clamp(22px%2C2.3vw%2C29px)%2F1.2%20Georgia%2Cserif%3B%20margin%3A6px%200%2012px%3B%20color%3Avar(--ll-ink)%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20h4%20%7B%20font-size%3A15px%3B%20line-height%3A1.45%3B%20margin%3A0%200%2014px%3B%20color%3Avar(--ll-ink)%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20p%20%7B%20margin%3A8px%200%2014px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20strong%2C.ll-lab%20b%20%7B%20font-weight%3A700%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-kicker%20%7B%20color%3A%237440cb%3B%20font-size%3A11px%3B%20letter-spacing%3A.13em%3B%20font-weight%3A750%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-note%20%7B%20color%3Avar(--ll-muted)%3B%20font-size%3A12px%3B%20line-height%3A1.5%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20button%20%7B%20appearance%3Anone%3B%20font%3Ainherit%3B%20color%3Avar(--ll-ink)%3B%20background%3Awhite%3B%20border%3A1px%20solid%20%23cbd5e1%3B%20border-radius%3A8px%3B%20padding%3A8px%2012px%3B%20cursor%3Apointer%3B%20touch-action%3Amanipulation%3B%20transition%3Abackground%20.15s%2Cborder-color%20.15s%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20button%3Ahover%20%7B%20background%3A%23f0ecfb%3B%20border-color%3A%237440cb%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20button%5Baria-pressed%3Dtrue%5D%20%7B%20background%3A%23eee6fc%3B%20border-color%3A%237440cb%3B%20color%3A%23512592%3B%20box-shadow%3Ainset%200%200%200%201px%20%237440cb%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20button%3Afocus-visible%2C.ll-lab%20input%3Afocus-visible%2C.ll-lab%20summary%3Afocus-visible%20%7B%20outline%3A3px%20solid%20%23d97706%3B%20outline-offset%3A3px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20button%3Adisabled%20%7B%20opacity%3A.4%3B%20cursor%3Adefault%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-actions%20%7B%20display%3Aflex%3B%20flex-wrap%3Awrap%3B%20gap%3A8px%3B%20margin%3A16px%200%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-actions%20button%20%7B%20font-size%3A13px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-status%20%7B%20background%3A%23f3effc%3B%20border-left%3A4px%20solid%20%237440cb%3B%20padding%3A12px%2016px%3B%20border-radius%3A0%208px%208px%200%3B%20font-size%3A14px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-coin-layout%2C.ll-lab%20.ll-dot-layout%20%7B%20display%3Agrid%3B%20grid-template-columns%3Aminmax(0%2C1fr)%20minmax(0%2C1fr)%3B%20gap%3A28px%3B%20align-items%3Acenter%3B%20margin%3A24px%200%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-coin-grid%20%7B%20display%3Agrid%3B%20grid-template-columns%3A1fr%201fr%3B%20gap%3A12px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-coin-grid%20button%20%7B%20display%3Aflex%3B%20flex-direction%3Acolumn%3B%20align-items%3Acenter%3B%20gap%3A8px%3B%20padding%3A18px%3B%20background%3A%23f8fafc%3B%20border%3A2px%20solid%20%23dce3ec%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-coin-grid%20button%5Baria-pressed%3Dtrue%5D%20%7B%20background%3A%23f1eafa%3B%20border-color%3A%237440cb%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-coin-pair%20%7B%20display%3Aflex%3B%20gap%3A10px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-coin-pair%20i%20%7B%20display%3Agrid%3B%20place-items%3Acenter%3B%20width%3A46px%3B%20height%3A46px%3B%20border-radius%3A50%25%3B%20background%3A%23f4dfad%3B%20border%3A3px%20double%20%23bb862a%3B%20color%3A%2370491a%3B%20font%3Abold%2021px%20Georgia%2Cserif%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-coin-grid%20small%20%7B%20font-size%3A12px%3B%20color%3Avar(--ll-muted)%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-count-card%20%7B%20background%3A%23f8f6fc%3B%20border-radius%3A12px%3B%20padding%3A24px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-count-card%3Espan%2C.ll-lab%20.ll-ratio%3Espan%20%7B%20font-size%3A11px%3B%20letter-spacing%3A.08em%3B%20color%3Avar(--ll-muted)%3B%20font-weight%3A700%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-big%20%7B%20font%3A700%20clamp(28px%2C4vw%2C52px)%2F1.2%20Georgia%2Cserif%3B%20margin%3A12px%200%3B%20color%3A%237440cb%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-count-strip%20%7B%20display%3Agrid%3B%20grid-template-columns%3Arepeat(4%2C1fr)%3B%20gap%3A4px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-count-strip%20span%20%7B%20text-align%3Acenter%3B%20padding%3A12px%200%3B%20background%3A%23e8eaf0%3B%20color%3A%23596579%3B%20font-size%3A12px%3B%20border-radius%3A4px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-count-strip%20.ll-on%20%7B%20background%3A%237440cb%3B%20color%3Awhite%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-pop-grid%20%7B%20display%3Agrid%3B%20grid-template-columns%3Aminmax(255px%2C1fr)%20minmax(260px%2C1fr)%20minmax(260px%2C1fr)%3B%20gap%3A16px%2022px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-col-head%20%7B%20font-size%3A12px%3B%20font-weight%3A750%3B%20color%3Avar(--ll-muted)%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-neuron%20%7B%20grid-column%3A1%3B%20border-top%3A3px%20solid%20var(--neuron)%3B%20padding-top%3A12px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-neuron%20h4%20%7B%20color%3Avar(--neuron)%3B%20margin-bottom%3A8px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-neuron%20h4%20span%20%7B%20float%3Aright%3B%20font-size%3A12px%3B%20font-weight%3A500%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-response-table%20%7B%20border-collapse%3Aseparate%3B%20border-spacing%3A3px%3B%20width%3A100%25%3B%20font-size%3A12px%3B%20table-layout%3Afixed%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-response-table%20caption%20%7B%20font-size%3A11px%3B%20color%3Avar(--ll-muted)%3B%20text-align%3Aleft%3B%20margin%3A0%200%206px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-response-table%20th%2C.ll-lab%20.ll-response-table%20td%20%7B%20padding%3A0%20!important%3B%20border%3A0%3B%20text-align%3Acenter%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-response-table%20th%3Afirst-child%20%7B%20width%3A28%25%3B%20text-align%3Aleft%3B%20font-weight%3A500%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-response-table%20button%20%7B%20width%3A100%25%3B%20border%3A1px%20solid%20transparent%3B%20border-radius%3A5px%3B%20padding%3A7px%202px%3B%20font-size%3A12px%3B%20background%3Argba(37%2C99%2C168%2Cvar(--shade%2C0))%3B%20font-variant-numeric%3Atabular-nums%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-response-table%20button%5Baria-pressed%3Dtrue%5D%20%7B%20border-color%3Avar(--neuron)%3B%20box-shadow%3Ainset%200%200%200%201px%20var(--neuron)%3B%20color%3Avar(--ll-ink)%3B%20font-weight%3A750%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-response-table%20thead%20button%5Baria-pressed%3Dtrue%5D%20%7B%20background%3Avar(--neuron)%3B%20color%3Awhite%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-individual%20%7B%20grid-column%3A2%3B%20border-top%3A3px%20solid%20var(--neuron)%3B%20padding-top%3A12px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-joint%20%7B%20grid-column%3A3%3B%20grid-row%3A2%20%2F%20span%203%3B%20background%3A%23f8f6fc%3B%20border%3A1px%20solid%20%23e8e1f4%3B%20border-radius%3A12px%3B%20padding%3A18px%2014px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-joint%20.ll-bar-row%20%7B%20margin-bottom%3A25px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-bars%20%7B%20width%3A100%25%3B%20margin%3A16px%200%206px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-bar-row%20%7B%20display%3Agrid%3B%20grid-template-columns%3A65px%20minmax(0%2C1fr)%2048px%3B%20gap%3A8px%3B%20align-items%3Acenter%3B%20margin-bottom%3A13px%3B%20font-size%3A12px%3B%20font-variant-numeric%3Atabular-nums%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-track%20%7B%20height%3A17px%3B%20background%3A%23e8edf3%3B%20border-radius%3A3px%3B%20overflow%3Ahidden%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-fill%20%7B%20height%3A100%25%3B%20border-radius%3A3px%3B%20transition%3Awidth%20.35s%20ease%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-axis%20%7B%20display%3Aflex%3B%20justify-content%3Aspace-between%3B%20border-top%3A1px%20solid%20%23c9d2df%3B%20padding-top%3A4px%3B%20margin%3A0%2056px%200%2073px%3B%20color%3Avar(--ll-muted)%3B%20font-size%3A10px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-ratio%20%7B%20border-top%3A1px%20solid%20%23daceed%3B%20margin-top%3A32px%3B%20padding-top%3A24px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-ratio%20strong%20%7B%20display%3Ablock%3B%20font%3A700%2044px%20Georgia%2Cserif%3B%20color%3A%237440cb%3B%20margin%3A10px%200%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-ratio%20p%20%7B%20font-size%3A13px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-calculations%20%7B%20display%3Agrid%3B%20grid-template-columns%3Arepeat(3%2Cminmax(0%2C1fr))%3B%20gap%3A10px%3B%20margin%3A20px%200%3B%20font-size%3A13px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-calculations%3Ediv%20%7B%20border%3A1px%20solid%20%23dce3ec%3B%20border-radius%3A8px%3B%20padding%3A10px%2012px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-calculations%20strong%20%7B%20display%3Ablock%3B%20margin-bottom%3A6px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-stages%20%7B%20display%3Agrid%3B%20grid-template-columns%3Arepeat(4%2Cminmax(0%2C1fr))%3B%20gap%3A10px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-stages%20button%20%7B%20text-align%3Aleft%3B%20padding%3A12px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-stages%20span%2C.ll-lab%20.ll-stages%20strong%2C.ll-lab%20.ll-stages%20small%20%7B%20display%3Ablock%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-stages%20strong%20%7B%20font-size%3A26px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-stages%20small%20%7B%20font-size%3A11px%3B%20color%3Avar(--ll-muted)%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-dots%20%7B%20width%3A100%25%3B%20height%3Aauto%3B%20display%3Ablock%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20circle%20%7B%20transition%3Afill%20.4s%20ease%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-slider-label%20%7B%20display%3Ablock%3B%20padding%3A16px%2018px%3B%20border-radius%3A10px%3B%20background%3A%23f8f6fc%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-slider-label%20input%20%7B%20display%3Ablock%3B%20width%3A100%25%3B%20accent-color%3A%237440cb%3B%20margin%3A18px%200%204px%3B%20cursor%3Apointer%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-slider-ends%20%7B%20display%3Aflex%3B%20justify-content%3Aspace-between%3B%20gap%3A16px%3B%20font-size%3A11px%3B%20color%3Avar(--ll-muted)%3B%20padding%3A4px%2018px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-prior-panels%20%7B%20display%3Agrid%3B%20grid-template-columns%3Arepeat(3%2Cminmax(0%2C1fr))%3B%20gap%3A16px%3B%20margin%3A20px%200%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-prior-panels%3Ediv%20%7B%20padding%3A16px%2012px%3B%20border%3A1px%20solid%20%23dce3ec%3B%20border-radius%3A10px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-prior-panels%20h4%20span%20%7B%20display%3Ablock%3B%20font-size%3A11px%3B%20color%3Avar(--ll-muted)%3B%20font-weight%3A500%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-fixed%20%7B%20background%3A%23f8f6fc%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-count-details%20%7B%20margin%3A16px%200%3B%20border-top%3A1px%20solid%20%23dce3ec%3B%20padding-top%3A14px%3B%20font-size%3A13px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-count-details%20summary%20%7B%20cursor%3Apointer%3B%20font-weight%3A650%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-count-details%3Ediv%20%7B%20overflow-x%3Aauto%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-count-details%20table%20%7B%20font-size%3A12px%3B%20width%3A100%25%3B%20text-align%3Aleft%3B%20border-collapse%3Acollapse%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-count-details%20th%2C.ll-lab%20.ll-count-details%20td%20%7B%20border-bottom%3A1px%20solid%20%23dce3ec%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%40container%20(max-width%3A900px)%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-pop-grid%20%7B%20grid-template-columns%3Aminmax(0%2C1fr)%20minmax(0%2C1fr)%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-joint-head%20%7B%20display%3Anone%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-joint%20%7B%20grid-column%3A1%20%2F%20-1%3B%20grid-row%3Aauto%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-prior-panels%20%7B%20grid-template-columns%3A1fr%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%40container%20(max-width%3A560px)%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-coin-layout%2C.ll-lab%20.ll-dot-layout%2C.ll-lab%20.ll-pop-grid%2C.ll-lab%20.ll-calculations%20%7B%20grid-template-columns%3Aminmax(0%2C1fr)%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-individual%2C.ll-lab%20.ll-neuron%2C.ll-lab%20.ll-joint%20%7B%20grid-column%3A1%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-col-head%20%7B%20display%3Anone%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-stages%20%7B%20grid-template-columns%3A1fr%201fr%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-count-card%20%7B%20padding%3A18px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.ll-lab%20.ll-coin-grid%20button%20%7B%20padding%3A12px%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%40media%20(prefers-reduced-motion%3Areduce)%20%7B%20.ll-lab%20*%20%7B%20transition%3Anone%20!important%3B%20%7D%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20return%20(LikelihoodLab%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(LikelihoodLab%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20coin_counter%20%3D%20mo.ui.anywidget(LikelihoodLab(kind%3D%22coins%22))%0A%20%20%20%20coin_counter%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%200.2%20Multiplication%20gives%20the%20same%20answer%0A%0A%20%20%20%20Half%20the%20outcomes%20have%20heads%20on%20the%20first%20toss%3A%20**HH%2C%20HT**.%0A%20%20%20%20Within%20that%20group%2C%20half%20also%20have%20heads%20on%20the%20second%20toss%3A%20**HH**.%0A%20%20%20%20So%20the%20fraction%20with%20both%20is%20**half%20of%20a%20half**%2C%20or%20one%20quarter.%0A%0A%20%20%20%20Independence%20is%20what%20lets%20us%20use%20the%20same%20%241%2F2%24%20for%20the%20second%20toss%0A%20%20%20%20after%20selecting%20the%20trials%20whose%20first%20toss%20was%20heads.%20In%20symbols%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20P(H_1%5Ctext%7B%20and%20%7DH_2)%0A%20%20%20%20%3D%20P(H_1)%5Ctimes%20P(H_2)%0A%20%20%20%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A%20%20%20%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Counting%20and%20multiplication%20agree%3A**%20one%20of%20the%20four%20outcomes%20is%20HH%2C%0A%20%20%20%20and%20the%20product%20of%20the%20two%20heads%20probabilities%20is%20%241%2F4%24.%20Each%20of%20the%0A%20%20%20%20other%20ordered%20pairs%20also%20has%20probability%20%241%2F4%24%3B%20the%20four%20probabilities%0A%20%20%20%20add%20to%20one.%0A%0A%20%20%20%20These%20are%20probabilities%20of%20**possible%20outcomes**%2C%20not%20a%20promise%20that%0A%20%20%20%20four%20actual%20trials%20will%20produce%20each%20pair%20once.%20Over%20many%20trials%2C%20we%0A%20%20%20%20expect%20about%20one%20quarter%20of%20the%20pairs%20to%20be%20HH.%0A%0A%20%20%20%20**Why%20independence%20matters.**%20Suppose%20we%20toss%20once%20and%20simply%20copy%0A%20%20%20%20that%20result%20into%20the%20second%20position.%20Both%20positions%20still%20individually%0A%20%20%20%20have%20a%20%241%2F2%24%20chance%20of%20heads%2C%20but%20now%20only%20HH%20and%20TT%20can%20occur.%0A%20%20%20%20The%20probability%20of%20HH%20is%20%241%2F2%24%2C%20not%20%241%2F4%24%3A%20the%20results%20are%20dependent%2C%0A%20%20%20%20so%20multiplying%20their%20individual%20probabilities%20would%20be%20wrong.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%200.3%20Add%20one%20more%20toss%0A%0A%20%20%20%20Before%20reading%20on%2C%20predict%20the%20probability%20of%20**three%20heads%20in%20order**%0A%20%20%20%20with%20three%20fair%2C%20independent%20tosses.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Check%20your%20prediction%3A%20count%20all%20eight%20outcomes%22%3A%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20eight%20equally%20likely%20ordered%20outcomes%20are%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**HHH%2C%20HHT%2C%20HTH%2C%20HTT%2C%20THH%2C%20THT%2C%20TTH%2C%20TTT.**%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Only%20**HHH**%20is%20three%20heads%2C%20so%20counting%20gives%20%241%2F8%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Multiplication%20gives%20the%20same%20result%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20P(H_1%5Ctext%7B%20and%20%7DH_2%5Ctext%7B%20and%20%7DH_3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%20%5Cfrac12%5Ctimes%5Cfrac12%5Ctimes%5Cfrac12%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%20%5Cfrac18.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20counts%20shrink%20from%20eight%20possible%20sequences%2C%20to%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20four%20starting%20with%20H%2C%20to%20two%20starting%20with%20HH%2C%20to%20one%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20starting%20with%20HHH.%20Each%20independent%20toss%20supplies%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20another%20factor%20of%20%241%2F2%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Next%20we%20will%20use%20the%20same%20reasoning%20for%20**three%20neurons**.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Their%20response%20probabilities%20need%20not%20be%20%241%2F2%24.%20For%20a%20given%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20stimulus%2C%20we%20will%20look%20up%20the%20probability%20of%20each%20observed%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20response%20and%20multiply%20the%20three%20values%2C%20assuming%20the%20neurons'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20responses%20are%20independent%20**when%20that%20stimulus%20is%20held%20fixed**.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22concept-chain%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22concept-step%22%3E%3Cstrong%3E1%20%C2%B7%20Response%20model%3C%2Fstrong%3E%3Cspan%3EFor%20each%20stimulus%2C%20list%20the%20probabilities%20of%20each%20neuron's%20possible%20responses.%3C%2Fspan%3E%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22concept-step%22%3E%3Cstrong%3E2%20%C2%B7%20Observed%20data%3C%2Fstrong%3E%3Cspan%3ERecord%20each%20neuron's%20response%20on%20one%20trial.%3C%2Fspan%3E%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22concept-step%22%3E%3Cstrong%3E3%20%C2%B7%20Likelihood%3C%2Fstrong%3E%3Cspan%3EAsk%20how%20probable%20these%20same%20responses%20would%20be%20under%20each%20possible%20stimulus.%3C%2Fspan%3E%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22concept-step%22%3E%3Cstrong%3E4%20%C2%B7%20Population%20readout%3C%2Fstrong%3E%3Cspan%3ECombine%20the%20responses%20to%20estimate%20the%20stimulus.%3C%2Fspan%3E%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20From%20a%20neural%20response%20to%20evidence%20about%20a%20stimulus%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%201.1%20Learn%20how%20the%20neurons%20respond%0A%0A%20%20%20%20Imagine%20an%20animal%20watching%20moving%20dots.%20On%20each%20trial%2C%20the%20dots%20move%0A%20%20%20%20**leftward%2C%20upward%2C%20or%20rightward**.%20We%20record%20**three%20neurons%20at%20the%20same%0A%20%20%20%20time**%2C%20so%20all%20three%20respond%20to%20the%20same%20direction.%0A%0A%20%20%20%20We%20count%20each%20neuron's%20spikes%20during%20a%20100-millisecond%20window%20and%20give%0A%20%20%20%20it%20one%20of%20three%20labels%3A%20**low**%20(0%E2%80%934%20spikes)%2C%20**medium**%20(5%E2%80%939%20spikes)%2C%20or%0A%20%20%20%20**high**%20(10%20or%20more%20spikes).%20Each%20neuron%20contributes%20one%20label%20to%20the%0A%20%20%20%20recording.%20Our%20eventual%20task%20is%20to%20use%20those%20three%20labels%20to%20work%20out%0A%20%20%20%20which%20direction%20was%20shown.%0A%0A%20%20%20%20First%20we%20need%20to%20learn%20how%20each%20neuron%20responds%20to%20a%20**known**%20direction.%0A%20%20%20%20We%20show%20each%20direction%20repeatedly%20and%20count%20how%20often%20low%2C%20medium%2C%20and%0A%20%20%20%20high%20occur.%20Repeating%20a%20stimulus%20does%20not%20guarantee%20the%20same%20response%3A%0A%20%20%20%20neural%20responses%20vary%20from%20trial%20to%20trial.%0A%0A%20%20%20%20The%20table%20below%20is%20our%20**response%20model**.%20Its%20numbers%20are%20invented%20for%0A%20%20%20%20this%20lesson%2C%20and%20we%20will%20treat%20them%20as%20known.%20Choose%20a%20neuron%20and%20a%0A%20%20%20%20direction%2C%20then%20read%20across%3A%20the%20three%20entries%20give%20the%20probabilities%0A%20%20%20%20of%20that%20neuron's%20possible%20responses.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(Rectangle%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20intro_directions%20%3D%20(%22leftward%22%2C%20%22upward%22%2C%20%22rightward%22)%0A%20%20%20%20intro_responses%20%3D%20(%22low%22%2C%20%22medium%22%2C%20%22high%22)%0A%20%20%20%20intro_neuron_colors%20%3D%20(%22%232563a8%22%2C%20%22%23d97706%22%2C%20%22%2316846b%22)%0A%20%20%20%20%23%20Axes%3A%20neuron%2C%20stimulus%20direction%2C%20response%20category.%0A%20%20%20%20intro_response_probabilities%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%5B0.70%2C%200.25%2C%200.05%5D%2C%20%5B0.25%2C%200.55%2C%200.20%5D%2C%20%5B0.05%2C%200.25%2C%200.70%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%5B0.40%2C%200.20%2C%200.40%5D%2C%20%5B0.30%2C%200.20%2C%200.50%5D%2C%20%5B0.20%2C%200.30%2C%200.50%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%5B0.50%2C%200.30%2C%200.20%5D%2C%20%5B0.20%2C%200.20%2C%200.60%5D%2C%20%5B0.40%2C%200.50%2C%200.10%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20intro_worked_responses%20%3D%20(%22high%22%2C%20%22high%22%2C%20%22low%22)%0A%20%20%20%20intro_worked_factors%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20intro_response_probabilities%5B_neuron%2C%20%3A%2C%20intro_responses.index(_response)%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_neuron%2C%20_response%20in%20enumerate(intro_worked_responses)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20intro_worked_likelihood%20%3D%20intro_worked_factors.prod(axis%3D0)%0A%0A%20%20%20%20def%20intro_number(value)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Show%20the%20exact%20decimal%20products%20used%20in%20this%20discrete%20example.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20f%22%7Bvalue%3A.4f%7D%22.rstrip(%220%22).rstrip(%22.%22)%0A%0A%20%20%20%20def%20intro_draw_table(axis%2C%20neuron%2C%20response)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20table%20%3D%20intro_response_probabilities%5Bneuron%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected%20%3D%20intro_responses.index(response)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%20%3D%20intro_neuron_colors%5Bneuron%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis.imshow(table%2C%20cmap%3D%22Blues%22%2C%20vmin%3D0%2C%20vmax%3D0.75%2C%20aspect%3D%22auto%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20row%20in%20range(3)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20column%20in%20range(3)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20column%2C%20row%2C%20f%22%7Btable%5Brow%2C%20column%5D%3A.2f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%20fontsize%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22white%22%20if%20table%5Brow%2C%20column%5D%20%3E%200.48%20else%20%22%23182338%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontweight%3D%22bold%22%20if%20column%20%3D%3D%20selected%20else%20%22normal%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis.add_patch(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Rectangle(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(selected%20-%200.47%2C%20-0.47)%2C%200.94%2C%202.94%2C%20fill%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3Dcolor%2C%20linewidth%3D3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis.set_xticks(range(3)%2C%20%5Blabel.capitalize()%20for%20label%20in%20intro_responses%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis.set_yticks(range(3)%2C%20%5Blabel.capitalize()%20for%20label%20in%20intro_directions%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis.set_title(f%22Neuron%20%7Bneuron%20%2B%201%7D%3A%20observed%20%7Bresponse%7D%22%2C%20color%3Dcolor%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis.tick_params(length%3D0%2C%20labelsize%3D9)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20spine%20in%20axis.spines.values()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20spine.set_visible(False)%0A%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20intro_directions%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20intro_draw_table%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20intro_number%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20intro_response_probabilities%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20intro_worked_factors%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20intro_worked_likelihood%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(intro_directions%2C%20intro_response_probabilities%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_neuron%20in%20range(3)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_direction_index%2C%20_direction%20in%20enumerate(intro_directions)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_probabilities%20%3D%20intro_response_probabilities%5B_neuron%2C%20_direction_index%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7C%20Neuron%20%7B_neuron%20%2B%201%7D%20%7C%20%7B_direction.capitalize()%7D%20%7C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%22%20%7C%20%22.join(f%22%7B_value%3A.2f%7D%22%20for%20_value%20in%20_probabilities)%20%2B%20%22%20%7C%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%7C%20Neuron%20%7C%20Direction%20shown%20%7C%20P(low)%20%7C%20P(medium)%20%7C%20P(high)%20%7C%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%7C---%7C---%7C---%3A%7C---%3A%7C---%3A%7C%5Cn%22%20%2B%20%22%5Cn%22.join(_rows)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Read%20one%20row.**%20For%20neuron%201%20under%20rightward%20motion%2C%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20probabilities%20are%200.05%2C%200.25%2C%20and%200.70.%20On%20100%20rightward%20trials%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20we%20would%20expect%20about%205%20low%2C%2025%20medium%2C%20and%2070%20high%20responses.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20actual%20counts%20would%20vary%2C%20but%20these%20are%20their%20expected%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20proportions.%20The%20row%20adds%20to%20one%20because%20every%20response%20falls%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20into%20exactly%20one%20of%20the%20three%20categories.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20We%20write%20its%20last%20entry%20as%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24P(R_1%3D%5Ctext%7Bhigh%7D%5Cmid%5Ctext%7Brightward%7D)%3D0.70%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24R_1%24%20means%20neuron%201's%20response%2C%20and%20the%20vertical%20bar%20means%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**%E2%80%9Cgiven%20that.%E2%80%9D**%20This%20is%20the%20probability%20of%20a%20high%20response%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20given%20that%20we%20showed%20rightward%20motion.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20So%20far%20we%20have%20a%20**forward%20model**%3A%20start%20with%20a%20direction%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20describe%20the%20responses%20it%20can%20produce.%20Keep%20this%20table%20in%20mind%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20everything%20that%20follows%20is%20a%20different%20way%20of%20using%20its%20entries.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D0.6%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%201.2%20Hide%20the%20stimulus%3B%20observe%20one%20response%0A%0A%20%20%20%20On%20a%20new%20trial%2C%20we%20do%20not%20know%20which%20direction%20was%20shown.%20We%20inspect%0A%20%20%20%20neuron%201%20and%20find%20a%20**high**%20response.%20Leave%20the%20other%20two%20neurons%0A%20%20%20%20aside%20for%20a%20moment.%0A%0A%20%20%20%20For%20each%20candidate%20direction%2C%20ask%3A%20**if%20that%20direction%20had%20been%20shown%2C%0A%20%20%20%20how%20probable%20would%20this%20high%20response%20have%20been%3F**%20We%20can%20answer%20using%0A%20%20%20%20the%20same%20table.%20Read%20down%20neuron%201's%20**high**%20column%3A%200.05%20for%20leftward%2C%0A%20%20%20%200.20%20for%20upward%2C%20and%200.70%20for%20rightward.%0A%0A%20%20%20%20The%20figure%20copies%20that%20column%20into%20a%20bar%20plot.%20The%20response%20stays%0A%20%20%20%20fixed%20at%20high%3B%20only%20the%20candidate%20direction%20changes.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20clean_axes%2C%0A%20%20%20%20intro_directions%2C%0A%20%20%20%20intro_draw_table%2C%0A%20%20%20%20intro_worked_factors%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_likelihood%20%3D%20intro_worked_factors%5B0%5D%0A%20%20%20%20_fig%2C%20(_ax_table%2C%20_ax_like)%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%202%2C%20figsize%3D(10.4%2C%203.5)%2C%20layout%3D%22constrained%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gridspec_kw%3D%7B%22width_ratios%22%3A%20%5B1%2C%201.2%5D%7D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig.patch.set_facecolor(%22white%22)%0A%20%20%20%20intro_draw_table(_ax_table%2C%200%2C%20%22high%22)%0A%20%20%20%20_ax_table.set_title(%22Response%20model%3A%20select%20the%20high%20column%22%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20_ax_table.set_xlabel(%22Possible%20response%22)%0A%20%20%20%20_bars%20%3D%20_ax_like.barh(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Blabel.capitalize()%20for%20label%20in%20intro_directions%5D%2C%20_likelihood%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%5B%22%23b8a4ea%22%2C%20%22%23b8a4ea%22%2C%20%22%237c3aed%22%5D%2C%20height%3D0.55%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_like.bar_label(_bars%2C%20labels%3D%5Bf%22%7Bvalue%3A.2f%7D%22%20for%20value%20in%20_likelihood%5D%2C%20padding%3D5)%0A%20%20%20%20_ax_like.invert_yaxis()%0A%20%20%20%20_ax_like.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Likelihood%3A%20compare%20that%20same%20response%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22P(neuron%201%20high%20%7C%20candidate%20direction)%22%2C%20xlim%3D(0%2C%200.85)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20clean_axes(%5B_ax_like%5D)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20These%20three%20values%20are%20the%20**likelihood**%20for%20the%20observed%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20response.%20A%20likelihood%20tells%20us%20how%20well%20each%20candidate%20stimulus%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20accounts%20for%20the%20data%20we%20actually%20recorded.%20Rightward%20has%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20largest%20value%2C%20so%20it%20is%20our%20**maximum-likelihood%20estimate**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20using%20neuron%201%20alone.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20We%20can%20write%20this%20as%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24L_1(s)%3DP(R_1%3D%5Ctext%7Bhigh%7D%5Cmid%20s)%24%2C%20where%20%24s%24%20is%20a%20candidate%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20direction.%20This%20is%20**still%20a%20forward%20probability**.%20The%20value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.70%20means%20%E2%80%9C70%25%20of%20rightward%20trials%20produce%20high%2C%E2%80%9D%20not%20%E2%80%9Ca%20high%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20response%20means%20a%2070%25%20chance%20of%20rightward.%E2%80%9D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D0.6%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%201.3%20Use%20the%20other%20two%20neurons%0A%0A%20%20%20%20Now%20read%20the%20whole%20recording%20from%20that%20same%20trial%3A%0A%0A%20%20%20%20**Neuron%201%3A%20high%20%C2%B7%20Neuron%202%3A%20high%20%C2%B7%20Neuron%203%3A%20low**%0A%0A%20%20%20%20For%20each%20direction%2C%20we%20want%20the%20probability%20of%20**all%20three%20responses%0A%20%20%20%20occurring%20together**.%20Suppose%20that%2C%20when%20the%20direction%20is%20held%20fixed%2C%0A%20%20%20%20the%20neurons'%20responses%20vary%20independently.%20Knowing%20one%20neuron's%0A%20%20%20%20response%20then%20tells%20us%20nothing%20further%20about%20the%20others'%20responses.%0A%20%20%20%20This%20assumption%20is%20called%20**conditional%20independence**.%20It%20is%20what%0A%20%20%20%20allows%20us%20to%20multiply%20their%20probabilities.%0A%0A%20%20%20%20Try%20rightward%20first.%20The%20three%20entries%20we%20need%20are%20**0.70**%2C%20**0.50**%2C%0A%20%20%20%20and%20**0.40**.%20To%20see%20why%20we%20multiply%2C%20imagine%201%2C000%20rightward%20trials%3A%0A%20%20%20%20about%20700%20give%20a%20high%20response%20from%20neuron%201%3B%20half%20of%20those%2C%20350%2C%20also%0A%20%20%20%20give%20a%20high%20response%20from%20neuron%202%3B%20and%2040%25%20of%20those%2C%20140%2C%20also%20give%0A%20%20%20%20a%20low%20response%20from%20neuron%203.%20Thus%20the%20probability%20of%20the%20whole%20pattern%0A%20%20%20%20is%20%240.70%5Ctimes0.50%5Ctimes0.40%3D0.14%24.%0A%0A%20%20%20%20Repeat%20that%20calculation%20for%20each%20candidate%20direction%2C%20always%20keeping%0A%20%20%20%20the%20observed%20pattern%20**high%2C%20high%2C%20low**%20fixed.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(LikelihoodLab%2C%20intro_response_probabilities%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20intro_multiplication%20%3D%20mo.ui.anywidget(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20LikelihoodLab(kind%3D%22multiply%22%2C%20probabilities%3Dintro_response_probabilities.tolist())%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20intro_multiplication%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20intro_directions%2C%0A%20%20%20%20intro_number%2C%0A%20%20%20%20intro_worked_factors%2C%0A%20%20%20%20intro_worked_likelihood%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_index%2C%20_direction%20in%20enumerate(intro_directions)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_entries%20%3D%20%22%20%7C%20%22.join(f%22%7B_value%3A.2f%7D%22%20for%20_value%20in%20intro_worked_factors%5B%3A%2C%20_index%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_product%20%3D%20%22%20%C3%97%20%22.join(f%22%7B_value%3A.2f%7D%22%20for%20_value%20in%20intro_worked_factors%5B%3A%2C%20_index%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7C%20%7B_direction.capitalize()%7D%20%7C%20%7B_entries%7D%20%7C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7B_product%7D%20%3D%20**%7Bintro_number(intro_worked_likelihood%5B_index%5D)%7D**%20%7C%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%7C%20Candidate%20direction%20%7C%20Neuron%201%3A%20high%20%7C%20Neuron%202%3A%20high%20%7C%20Neuron%203%3A%20low%20%7C%20Whole%20pattern%20%7C%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%7C---%7C---%3A%7C---%3A%7C---%3A%7C---%7C%5Cn%22%20%2B%20%22%5Cn%22.join(_rows)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20These%20products%20form%20the%20**joint%20likelihood**%3A%20%E2%80%9Cjoint%E2%80%9D%20means%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20that%20we%20consider%20the%20three%20responses%20together.%20Rightward%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20produces%20this%20pattern%20on%2014%25%20of%20trials%2C%20upward%20on%202%25%2C%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20leftward%20on%201%25.%20Rightward%20is%20therefore%20the%20maximum-likelihood%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20estimate%20from%20the%20whole%20recording.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20rule%20is%20simple%3A%20**for%20each%20candidate%20stimulus%2C%20multiply%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20individual%20neurons'%20likelihoods**.%20If%20%24s%24%20is%20that%20stimulus%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20then%20under%20conditional%20independence%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24L(s)%3DL_1(s)L_2(s)L_3(s)%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20We%20multiply%20across%20a%20row%2C%20because%20those%20responses%20happened%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20together.%20The%20directions%20in%20different%20rows%20are%20alternative%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20explanations%20of%20the%20trial.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Notice%20that%200.01%2C%200.02%2C%20and%200.14%20add%20to%200.17%2C%20not%20one.%20Each%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20describes%20the%20same%20response%20pattern%20under%20a%20**different%20assumed%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20direction**.%20By%20contrast%2C%20a%20row%20in%20the%20original%20response%20table%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lists%20all%20possible%20responses%20under%20**one%20fixed%20direction**%2C%20so%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20that%20row%20must%20add%20to%20one.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D0.6%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%201.4%20How%20much%20does%20the%20evidence%20favor%20rightward%20over%20leftward%3F%0A%0A%20%20%20%20A%20**likelihood%20ratio**%20answers%20this%20by%20dividing%20the%20two%20likelihoods%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7BL(%5Ctext%7Brightward%7D)%7D%7BL(%5Ctext%7Bleftward%7D)%7D%0A%20%20%20%20%3D%20%5Cfrac%7B0.14%7D%7B0.01%7D%20%3D%2014.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Read%20this%20as%3A%20**the%20observed%20pattern%20is%2014%20times%20as%20probable%20under%0A%20%20%20%20rightward%20motion%20as%20under%20leftward%20motion**.%20Among%201%2C000%20rightward%0A%20%20%20%20trials%2C%20we%20expect%20about%20140%20copies%20of%20this%20pattern%3B%20among%201%2C000%0A%20%20%20%20leftward%20trials%2C%20only%20about%2010.%0A%0A%20%20%20%20A%20ratio%20of%20one%20means%20the%20pattern%20supports%20those%20two%20candidates%20equally.%0A%20%20%20%20A%20ratio%20above%20one%20favors%20the%20direction%20in%20the%20numerator%3B%20a%20ratio%20below%0A%20%20%20%20one%20favors%20the%20direction%20in%20the%20denominator.%20This%20comparison%20concerns%0A%20%20%20%20rightward%20versus%20leftward%3B%20upward%20still%20has%20its%20own%20likelihood.%0A%0A%20%20%20%20Does%20a%20ratio%20of%2014%20mean%20that%20the%20stimulus%20itself%20is%2014%20times%20as%20likely%0A%20%20%20%20to%20have%20been%20rightward%3F%20**Only%20if%20rightward%20and%20leftward%20were%20equally%0A%20%20%20%20likely%20before%20the%20recording.**%20The%20optional%20example%20below%20shows%20why%0A%20%20%20%20that%20extra%20condition%20matters.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(LikelihoodLab%2C%20intro_response_probabilities%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20intro_prior_explorer%20%3D%20mo.ui.anywidget(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20LikelihoodLab(kind%3D%22prior%22%2C%20probabilities%3Dintro_response_probabilities.tolist())%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Optional%20%C2%B7%20The%20same%20evidence%20can%20lead%20to%20a%20different%20conclusion%22%3A%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20**prior**%20describes%20how%20often%20each%20direction%20is%20shown%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20before%20we%20see%20a%20response.%20The%20**posterior**%20describes%20how%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20probable%20each%20direction%20is%20after%20our%20recording.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Start%20with%2085%25%20leftward%2C%2010%25%20upward%2C%20and%205%25%20rightward.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Leftward%20is%20initially%20**17%20times%20as%20common**%20as%20rightward.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Our%20responses%20favor%20rightward%20by%20a%20factor%20of%20**14**%2C%20which%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20does%20not%20quite%20overcome%20that%20starting%20imbalance.%20The%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20likelihood%20favors%20rightward%2C%20but%20the%20posterior%20favors%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20leftward.%20Rightward%20still%20rises%20from%20**5%25%20to%2040%25**.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Predict%20which%20panels%20will%20change%2C%20then%20move%20the%20slider.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Open%20the%20count%20calculation%20if%20you%20want%20to%20see%20how%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20posterior%20comes%20from%20counting%20matching%20trials.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20intro_prior_explorer%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%201.5%20Try%20a%20different%20recording%0A%0A%20%20%20%20Now%20explore%20the%20same%20response%20model%20yourself.%20The%20highlighted%20columns%0A%20%20%20%20start%20at%20**high%2C%20high%2C%20low**%2C%20our%20worked%20example.%20Click%20directly%20in%20a%0A%20%20%20%20table%20to%20choose%20a%20different%20observed%20response.%20The%20neuron's%20response%0A%20%20%20%20probabilities%20stay%20fixed.%0A%0A%20%20%20%20Follow%20the%20figure%20from%20left%20to%20right.%20**A%3A**%20select%20the%20observed%20column%0A%20%20%20%20in%20each%20neuron's%20table.%20**B%3A**%20read%20those%20entries%20as%20individual%0A%20%20%20%20likelihoods.%20**C%3A**%20multiply%20the%20three%20values%20for%20each%20direction.%0A%20%20%20%20The%20calculations%20underneath%20show%20every%20factor.%0A%0A%20%20%20%20**Make%20a%20prediction%20first.**%20Keep%20neuron%201%20at%20high%2C%20but%20change%20neuron%202%0A%20%20%20%20to%20**low**%20and%20neuron%203%20to%20**high**.%20Neuron%201%20alone%20still%20favors%0A%20%20%20%20rightward.%20Will%20the%20whole%20recording%20do%20so%3F%20Check%20the%20joint%20bars%20and%0A%20%20%20%20the%20likelihood%20ratio%20below%20them.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(LikelihoodLab%2C%20intro_response_probabilities%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20intro_explorer%20%3D%20mo.ui.anywidget(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20LikelihoodLab(kind%3D%22population%22%2C%20probabilities%3Dintro_response_probabilities.tolist())%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20intro_explorer%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Combining%20conditionally%20independent%20measurements%0A%0A%20%20%20%20Imagine%20**two%20position%20sensors%20measuring%20the%20same%20stationary%20object's%0A%20%20%20%20horizontal%20position**.%20Both%20report%20centimetres%20relative%20to%20the%20same%20zero%0A%20%20%20%20point%3B%20negative%20values%20mean%20left%20of%20zero.%20The%20object's%20true%20position%20is%0A%20%20%20%20the%20**scalar%20stimulus**%3A%20one%20unknown%20number%20shared%20by%20both%20sensors.%20Their%0A%20%20%20%20readings%20can%20differ%20because%20each%20sensor%20adds%20measurement%20noise.%0A%0A%20%20%20%20%3E%20**Note%20on%20continuous%20measurements.**%20A%20sensor%20can%20report%20a%20position%0A%20%20%20%20%3E%20anywhere%20along%20a%20continuous%20scale.%20For%20a%20fixed%20true%20position%2C%20its%0A%20%20%20%20%3E%20possible%20readings%20are%20described%20by%20a%20probability%20*density*%20curve.%0A%20%20%20%20%3E%20The%20curve's%20height%20can%20exceed%20one%3B%20the%20**area%20under%20the%20whole%20curve%0A%20%20%20%20%3E%20is%20one**%2C%20and%20the%20area%20over%20a%20range%20of%20readings%20is%20the%20probability%0A%20%20%20%20%3E%20of%20a%20reading%20in%20that%20range.%0A%0A%20%20%20%20At%20any%20fixed%20true%20position%2C%20repeated%20readings%20from%20each%20sensor%20would%20form%0A%20%20%20%20a%20Gaussian%20distribution%20centered%20on%20that%20position%2C%20with%20a%20known%20noise%0A%20%20%20%20standard%20deviation.%20Here%20we%20take%20**one%20observed%20reading%20from%20each%20sensor**.%0A%20%20%20%20The%20sliders%20set%20those%20readings%20and%20each%20sensor's%20noise%20standard%20deviation.%0A%20%20%20%20The%20two%20bell-shaped%20curves%20below%20are%20the%20corresponding%20**likelihood%0A%20%20%20%20functions**%3A%20with%20the%20readings%20held%20fixed%2C%20each%20curve%20shows%20how%20well%0A%20%20%20%20different%20candidate%20positions%20account%20for%20one%20sensor's%20reading.%0A%0A%20%20%20%20For%20each%20candidate%20position%2C%20the%20model%20evaluates%20the%20density%20of%20each%0A%20%20%20%20observed%20reading.%20Their%20product%20is%20the%20joint%20likelihood%20if%20the%20errors%20are%0A%20%20%20%20**independent%20conditional%20on%20that%20position**.%20We%20assume%20the%20sensors%20have%0A%20%20%20%20separate%20sources%20of%20noise%2C%20with%20no%20shared%20disturbance%20once%20the%20true%0A%20%20%20%20position%20is%20fixed.%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20upper%20panel%2C%20both%20likelihoods%20are%20divided%20by%20their%20individual%0A%20%20%20%20maxima.%20Multiplying%20these%20relative%20curves%20gives%20the%20correct%20shape%20of%20the%0A%20%20%20%20joint%20likelihood.%20The%20lower%20panel%20divides%20that%20product%20by%20its%20own%20maximum%0A%20%20%20%20to%20make%20its%20width%20easy%20to%20compare.%20All%20these%20rescalings%20are%20constant%20across%0A%20%20%20%20candidate%20stimuli%20for%20the%20selected%20data%20and%20noise%20settings.%0A%0A%20%20%20%20With%20equal%20noise%2C%20the%20joint%20maximum%20lies%20halfway%20between%20the%20sensor%0A%20%20%20%20readings.%20With%20unequal%20noise%2C%20it%20lies%20closer%20to%20the%20reading%20from%20the%20sensor%0A%20%20%20%20with%20the%20smaller%20standard%20deviation.%20A%20narrower%20input%20curve%20falls%20faster%0A%20%20%20%20as%20a%20candidate%20moves%20away%20from%20its%20reading%2C%20so%20it%20contributes%20more%20to%20locating%20the%0A%20%20%20%20joint%20maximum.%20Both%20sensors%20measure%20the%20same%20object's%20position%3B%20combining%0A%20%20%20%20readings%20from%20sensors%20observing%20different%20objects%20would%20require%20a%20different%0A%20%20%20%20model.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20clue_one_center%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-80%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D80%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D-25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Sensor%201%3A%20observed%20position%20(cm)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20clue_two_center%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-80%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D80%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D30%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Sensor%202%3A%20observed%20position%20(cm)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20clue_width%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D60%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D32%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Sensor%201%3A%20noise%20standard%20deviation%20(cm)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20clue_two_width%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D12%2C%20stop%3D60%2C%20step%3D4%2C%20value%3D32%2C%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Sensor%202%3A%20noise%20standard%20deviation%20(cm)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20clue_controls%20%3D%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bclue_one_center%2C%20clue_two_center%2C%20clue_width%2C%20clue_two_width%5D%2C%20gap%3D0.5%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20clue_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20clue_one_center%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20clue_two_center%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20clue_two_width%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20clue_width%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20clean_axes%2C%0A%20%20%20%20clue_controls%2C%0A%20%20%20%20clue_one_center%2C%0A%20%20%20%20clue_two_center%2C%0A%20%20%20%20clue_two_width%2C%0A%20%20%20%20clue_width%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_x%20%3D%20np.linspace(-110%2C%20110%2C%20881)%0A%20%20%20%20_width%20%3D%20clue_width.value%0A%20%20%20%20_width_two%20%3D%20clue_two_width.value%0A%20%20%20%20_l1%20%3D%20np.exp(-0.5%20*%20((_x%20-%20clue_one_center.value)%20%2F%20_width)%20**%202)%0A%20%20%20%20_l2%20%3D%20np.exp(-0.5%20*%20((_x%20-%20clue_two_center.value)%20%2F%20_width_two)%20**%202)%0A%20%20%20%20_joint%20%3D%20_l1%20*%20_l2%0A%20%20%20%20_joint%20%2F%3D%20_joint.max()%0A%20%20%20%20_joint_sd%20%3D%201.0%20%2F%20np.sqrt(1.0%20%2F%20_width**2%20%2B%201.0%20%2F%20_width_two**2)%0A%20%20%20%20_best_x%20%3D%20_joint_sd**2%20*%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20clue_one_center.value%20%2F%20_width**2%20%2B%20clue_two_center.value%20%2F%20_width_two**2%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20(_ax_parts%2C%20_ax_joint)%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%202%2C%201%2C%20figsize%3D(10.8%2C%206.7)%2C%20sharex%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig.patch.set_facecolor(%22white%22)%0A%20%20%20%20_ax_parts.plot(_x%2C%20_l1%2C%20color%3D%22%232563a8%22%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D%22sensor%201%22)%0A%20%20%20%20_ax_parts.fill_between(_x%2C%200%2C%20_l1%2C%20color%3D%22%232563a8%22%2C%20alpha%3D0.12)%0A%20%20%20%20_ax_parts.plot(_x%2C%20_l2%2C%20color%3D%22%23d97706%22%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D%22sensor%202%22)%0A%20%20%20%20_ax_parts.fill_between(_x%2C%200%2C%20_l2%2C%20color%3D%22%23d97706%22%2C%20alpha%3D0.12)%0A%20%20%20%20_ax_parts.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Individual%20likelihoods%2C%20each%20scaled%20to%20peak%20at%201%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22relative%20likelihood%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(0%2C%201.05)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_parts.legend(frameon%3DFalse%2C%20ncols%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_ax_joint.plot(_x%2C%20_joint%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20linewidth%3D3.0)%0A%20%20%20%20_ax_joint.fill_between(_x%2C%200%2C%20_joint%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20alpha%3D0.20)%0A%20%20%20%20_ax_joint.axvline(_best_x%2C%20color%3D%22%23182338%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.4)%0A%20%20%20%20_ax_joint.scatter(%5B_best_x%5D%2C%20%5B1%5D%2C%20color%3D%22%23182338%22%2C%20s%3D55%2C%20zorder%3D4)%0A%20%20%20%20_ax_joint.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_best_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.08%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22maximum-likelihood%20position%20%3D%20%7B_best_x%3A.1f%7D%20cm%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D9.5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_joint.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Joint%20likelihood%3A%20product%20rescaled%20to%20peak%20at%201%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22candidate%20object%20position%20(cm)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22relative%20likelihood%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(-110%2C%20110)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(0%2C%201.22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20clean_axes(%5B_ax_parts%2C%20_ax_joint%5D)%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout(h_pad%3D2.0)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20clue_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Sensor%201%20reads%20**%7Bclue_one_center.value%7D%20cm**%20and%20sensor%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20reads%20**%7Bclue_two_center.value%7D%20cm**.%20The%20joint%20maximum%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20estimates%20the%20object's%20position%20as%20**%7B_best_x%3A.1f%7D%20cm**.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Its%20Gaussian%20width%20parameter%20is%20**%7B_joint_sd%3A.1f%7D%20cm**%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20compared%20with%20**%7B_width%7D%20cm**%20and%20**%7B_width_two%7D%20cm**%20for%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20individual%20sensor%20likelihoods.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20With%20equal%20noise%2C%20combining%20two%20independent%20measurements%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20reduces%20this%20width%20by%20a%20factor%20of%20approximately%201.41.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Under%20a%20flat%20prior%20over%20the%20real%20line%2C%20these%20particular%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Gaussian%20likelihoods%20also%20give%20Gaussian%20posteriors%20with%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20those%20standard%20deviations.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Move%20the%20measurements%20farther%20apart%20without%20changing%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20noise.%20The%20joint%20width%20stays%20the%20same%3A%20in%20this%20fixed-noise%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20common-stimulus%20model%2C%20disagreement%20changes%20the%20location%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20and%20unscaled%20height%20of%20the%20product%2C%20not%20its%20curvature.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20narrow%20relative%20likelihood%20therefore%20does%20not%20establish%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20that%20the%20model%20fits%20the%20observations%20well.%20Assessing%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20disagreement%20requires%20checking%20the%20measurement%20difference%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20against%20its%20predicted%20noise%2C%20or%20comparing%20an%20explicit%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alternative%20model.%20The%20rescaled%20peak%20height%20cannot%20do%20this.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Log%20likelihood%20and%20repeated%20observations%0A%0A%20%20%20%20Taking%20logarithms%20turns%20a%20product%20of%20likelihood%20factors%20into%20a%20sum.%20Because%0A%20%20%20%20the%20logarithm%20is%20strictly%20increasing%2C%20the%20maximum%20stays%20at%20the%20same%0A%20%20%20%20stimulus.%20A%20difference%20between%20two%20log-likelihood%20values%20is%20the%20logarithm%0A%20%20%20%20of%20their%20likelihood%20ratio.%20This%20preserves%20relative%20evidence%20while%20avoiding%0A%20%20%20%20numerical%20underflow%20from%20multiplying%20many%20small%20numbers.%20It%20does%20not%20make%0A%20%20%20%20dependent%20observations%20independent.%0A%0A%20%20%20%20Here%20the%20response%20on%20each%20trial%20is%20binary.%20The%20left%20curve%20specifies%20the%0A%20%20%20%20probability%20of%20response%201%20at%20each%20stimulus%3B%20the%20probability%20of%20response%200%0A%20%20%20%20is%20its%20complement.%20Suppose%20the%20stimulus%20is%20fixed%20across%20trials%20and%20every%0A%20%20%20%20observed%20response%20is%201.%20For%20independent%20trials%2C%20the%20likelihood%20is%20the%0A%20%20%20%20product%20of%20one%20copy%20of%20the%20left%20curve%20per%20observed%20trial.%20This%20is%20a%20model%0A%20%20%20%20for%20actual%20repeated%20observations%2C%20not%20permission%20to%20count%20one%20observation%0A%20%20%20%20more%20than%20once.%0A%0A%20%20%20%20Increase%20the%20number%20of%20trials.%20The%20middle%20panel%20shows%20the%20probability%20of%0A%20%20%20%20the%20entire%20response%20sequence%20becoming%20smaller%2C%20even%20at%20its%20maximum.%0A%20%20%20%20Simultaneously%2C%20the%20differences%20between%20candidates%20in%20the%20right%20panel%20grow%3A%0A%20%20%20%20the%20data%20discriminate%20more%20strongly%20between%20stimuli.%20The%20absolute%0A%20%20%20%20probability%20of%20a%20longer%20data%20sequence%20and%20the%20precision%20of%20stimulus%0A%20%20%20%20estimation%20are%20different%20quantities.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20repeated_clues%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D30%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Number%20of%20independent%20trials%2C%20all%20with%20observed%20response%201%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(repeated_clues%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(clean_axes%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20repeated_clues)%3A%0A%20%20%20%20_x%20%3D%20np.linspace(-100%2C%20100%2C%20700)%0A%20%20%20%20_single%20%3D%200.82%20*%20np.exp(-0.5%20*%20((_x%20-%2018.0)%20%2F%2031.0)%20**%202)%20%2B%200.015%0A%20%20%20%20_number%20%3D%20repeated_clues.value%0A%20%20%20%20_product%20%3D%20_single**_number%0A%20%20%20%20_single_log%20%3D%20np.log(_single)%0A%20%20%20%20_log_sum%20%3D%20_number%20*%20_single_log%0A%20%20%20%20_winner%20%3D%20float(_x%5Bnp.argmax(_single)%5D)%0A%20%20%20%20_product_peak%20%3D%20float(np.max(_product))%0A%20%20%20%20_log_peak%20%3D%20float(np.max(_log_sum))%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%203%2C%20figsize%3D(12.2%2C%203.8))%0A%20%20%20%20_fig.patch.set_facecolor(%22white%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.plot(_x%2C%20_single%2C%20color%3D%22%232563a8%22%2C%20linewidth%3D2.6)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.fill_between(_x%2C%200%2C%20_single%2C%20color%3D%22%232563a8%22%2C%20alpha%3D0.15)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22One%20observed%20response%3A%20r%20%3D%201%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22candidate%20stimulus%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22P(r%20%3D%201%20%7C%20stimulus)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(0%2C%201.02)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.plot(_x%2C%20_product%2C%20color%3D%22%23d97706%22%2C%20linewidth%3D2.6)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.fill_between(_x%2C%200%2C%20_product%2C%20color%3D%22%23d97706%22%2C%20alpha%3D0.18)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Joint%20likelihood%20of%20%7B_number%7D%20responses%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22candidate%20stimulus%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22product%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(0%2C%201.02)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x%2C%20_single_log%2C%20color%3D%22%239d89d8%22%2C%20linewidth%3D1.8%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22one%20log%20contribution%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x%2C%20_log_sum%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20linewidth%3D2.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22sum%20of%20%7B_number%7D%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.fill_between(_x%2C%20_log_sum%2C%20np.min(_log_sum)%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20alpha%3D0.10)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Sum%20of%20individual%20log%20likelihoods%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22candidate%20stimulus%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22log%20likelihood%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.legend(frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D8)%0A%0A%20%20%20%20for%20_axis%20in%20_axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.axvline(_winner%2C%20color%3D%22%23182338%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20linewidth%3D1.25)%0A%20%20%20%20clean_axes(_axes)%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout(w_pad%3D1.8)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20repeated_clues%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.Html(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22metric-row%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22metric%22%3E%3Cstrong%3E%7B_number%7D%3C%2Fstrong%3E%3Cspan%3Elikelihood%20factors%3C%2Fspan%3E%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22metric%22%3E%3Cstrong%3E%7B_product_peak%3A.3g%7D%3C%2Fstrong%3E%3Cspan%3Emaximum%20joint%20likelihood%3C%2Fspan%3E%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22metric%22%3E%3Cstrong%3E%7B_log_peak%3A.2f%7D%3C%2Fstrong%3E%3Cspan%3Emaximum%20log%20likelihood%3C%2Fspan%3E%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22metric%22%3E%3Cstrong%3E%7B_winner%3A.0f%7D%3C%2Fstrong%3E%3Cspan%3Emaximum-likelihood%20estimate%3C%2Fspan%3E%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20middle%20and%20right%20panels%20represent%20the%20same%20joint%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20likelihood%20on%20different%20vertical%20scales.%20A%20drop%20of%202%20log%20units%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20from%20the%20maximum%20corresponds%20to%20a%20likelihood%20ratio%20of%20about%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.14%20relative%20to%20the%20maximum%3B%20a%20drop%20of%205%20corresponds%20to%20about%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.007.%20Larger%20vertical%20differences%20imply%20stronger%20relative%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20discrimination%20between%20those%20candidates.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20An%20additive%20constant%20independent%20of%20stimulus%20can%20be%20removed%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20from%20a%20log%20likelihood%20without%20changing%20these%20differences.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Multiplying%20a%20log%20likelihood%20by%20a%20constant%20is%20different%3A%20it%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20changes%20likelihood%20ratios%20and%20the%20inferred%20precision%2C%20even%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20though%20it%20preserves%20the%20maximum%20when%20the%20constant%20is%20positive.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Log-likelihood%20identity%22%3A%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22If%20conditionally%20independent%20observations%20supply%20factors%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24L_1%2CL_2%2C%5Cldots%24%2C%20then%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Clog(L_1L_2%5Ccdots)%3D%5Clog%20L_1%2B%5Clog%20L_2%2B%5Ccdots%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Multiplication%20becomes%20addition%3B%20the%20location%20of%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20maximum%20is%20unchanged.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%204.%20A%20weighted%20population%20readout%0A%0A%20%20%20%20Twelve%20neurons%20have%20preferred%20directions%20spaced%20evenly%20around%20a%20circle.%0A%20%20%20%20Each%20has%20the%20same%20von%20Mises%20tuning%20shape%3A%20a%20smooth%2C%20periodic%20mean-response%0A%20%20%20%20curve%20centered%20on%20its%20preference.%20Counts%20are%20measured%20over%20a%20fixed%20time%0A%20%20%20%20window.%20For%20this%20example%2C%20the%20decoder%20assumes%20independent%20Poisson%20counts%0A%20%20%20%20with%20these%20means.%20The%20next%20two%20sections%20explain%20that%20assumption%20and%20the%0A%20%20%20%20resulting%20calculation%20in%20detail.%0A%0A%20%20%20%20The%20upper-left%20panel%20contains%20a%20constructed%20count%20pattern%20obtained%20by%0A%20%20%20%20rounding%20a%20tuning%20profile.%20It%20is%20a%20possible%20observation%20under%20the%20model%2C%0A%20%20%20%20not%20a%20random%20trial%20or%20a%20measured%20dataset.%20Changing%20its%20center%20or%20strength%0A%20%20%20%20constructs%20a%20different%20observation.%20Changing%20only%20the%20candidate%20direction%0A%20%20%20%20leaves%20those%20counts%20unchanged%20and%20selects%20a%20different%20output%20unit.%0A%0A%20%20%20%20Read%20the%20top%20row%20from%20left%20to%20right%3A%20observed%20counts%2C%20cosine%20connection%0A%20%20%20%20weights%20for%20one%20candidate%2C%20and%20the%20products%20of%20count%20and%20weight.%20Their%20sum%0A%20%20%20%20is%20the%20candidate's%20weighted%20score.%20The%20weight%20scale%20is%20the%20tuning%0A%20%20%20%20concentration%20(1.8%20here)%2C%20as%20required%20by%20this%20response%20model%3B%20an%20arbitrary%0A%20%20%20%20scale%20would%20preserve%20the%20peak%20but%20give%20incorrect%20likelihood%20ratios.%0A%0A%20%20%20%20Repeating%20the%20calculation%20for%20all%20candidate%20directions%20produces%20the%20lower%0A%20%20%20%20curve.%20The%20Poisson%20total-expected-count%20term%20is%20included%20when%20computing%0A%20%20%20%20this%20curve%3B%20it%20is%20nearly%20constant%20for%20this%20evenly%20spaced%20population.%0A%20%20%20%20Exponentiating%20the%20log%20likelihood%20after%20subtracting%20its%20maximum%20gives%0A%20%20%20%20the%20plotted%20relative%20likelihood.%20The%20input%20axis%20indexes%20**neurons%20by%0A%20%20%20%20preference**%3B%20the%20output%20axis%20indexes%20**candidate%20stimuli**.%20Similar-looking%0A%20%20%20%20axes%20do%20not%20make%20the%20count%20profile%20itself%20a%20likelihood%20function.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20population_center%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-150%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D150%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D15%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D45%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Center%20of%20the%20constructed%20count%20profile%20(degrees)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20population_strength%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Peak%20expected%20count%20used%20to%20construct%20the%20response%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20candidate_direction%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-180%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D180%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D15%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Candidate%20direction%20tested%20by%20the%20highlighted%20output%20unit%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20population_controls%20%3D%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bpopulation_center%2C%20population_strength%2C%20candidate_direction%5D%2C%20gap%3D0.5%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20candidate_direction%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20population_center%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20population_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20population_strength%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20candidate_direction%2C%0A%20%20%20%20circular_delta%2C%0A%20%20%20%20clean_axes%2C%0A%20%20%20%20direction_tuning%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20population_center%2C%0A%20%20%20%20population_controls%2C%0A%20%20%20%20population_strength%2C%0A%20%20%20%20relative_likelihood%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_preferences%20%3D%20np.arange(-180%2C%20180%2C%2030%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20_profile%20%3D%20direction_tuning(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.array(%5Bpopulation_center.value%5D)%2C%20_preferences%2C%20kappa%3D1.8%0A%20%20%20%20)%5B0%5D%0A%20%20%20%20_counts%20%3D%20np.rint(population_strength.value%20*%20_profile).astype(int)%0A%20%20%20%20_candidate%20%3D%20candidate_direction.value%0A%20%20%20%20_weights%20%3D%201.8%20*%20np.cos(np.deg2rad(circular_delta(_candidate%2C%20_preferences)))%0A%20%20%20%20_contributions%20%3D%20_counts%20*%20_weights%0A%20%20%20%20_candidate_score%20%3D%20float(np.sum(_contributions))%0A%0A%20%20%20%20_candidate_grid%20%3D%20np.linspace(-180%2C%20180%2C%20721)%0A%20%20%20%20_weight_bank%20%3D%20np.cos(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.deg2rad(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20circular_delta(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_candidate_grid%5B%3A%2C%20np.newaxis%5D%2C%20_preferences%5Bnp.newaxis%2C%20%3A%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_expected_counts%20%3D%20population_strength.value%20*%20direction_tuning(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_candidate_grid%2C%20_preferences%2C%20kappa%3D1.8%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_scores%20%3D%201.8%20*%20(_weight_bank%20%40%20_counts)%20-%20_expected_counts.sum(axis%3D1)%0A%20%20%20%20_relative%20%3D%20relative_likelihood(_scores)%0A%20%20%20%20_peak_direction%20%3D%20float(_candidate_grid%5Bnp.argmax(_scores)%5D)%0A%20%20%20%20_selected_relative%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.interp(_candidate%2C%20_candidate_grid%2C%20_relative)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_resultant_x%20%3D%20float(np.sum(_counts%20*%20np.cos(np.deg2rad(_preferences))))%0A%20%20%20%20_resultant_y%20%3D%20float(np.sum(_counts%20*%20np.sin(np.deg2rad(_preferences))))%0A%20%20%20%20_vector_mean%20%3D%20float(np.rad2deg(np.arctan2(_resultant_y%2C%20_resultant_x)))%0A%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20plt.figure(figsize%3D(13.0%2C%208.1))%0A%20%20%20%20_fig.patch.set_facecolor(%22white%22)%0A%20%20%20%20_grid_spec%20%3D%20_fig.add_gridspec(%0A%20%20%20%20%20%20%20%202%2C%203%2C%20height_ratios%3D%5B1.0%2C%201.05%5D%2C%20width_ratios%3D%5B1%2C%201%2C%201%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_spikes%20%3D%20_fig.add_subplot(_grid_spec%5B0%2C%200%5D)%0A%20%20%20%20_ax_weights%20%3D%20_fig.add_subplot(_grid_spec%5B0%2C%201%5D)%0A%20%20%20%20_ax_contributions%20%3D%20_fig.add_subplot(_grid_spec%5B0%2C%202%5D)%0A%20%20%20%20_ax_likelihood%20%3D%20_fig.add_subplot(_grid_spec%5B1%2C%20%3A2%5D)%0A%20%20%20%20_ax_compass%20%3D%20_fig.add_subplot(_grid_spec%5B1%2C%202%5D%2C%20projection%3D%22polar%22)%0A%20%20%20%20_bar_width%20%3D%2023%0A%20%20%20%20_ax_spikes.bar(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_preferences%2C%20_counts%2C%20width%3D_bar_width%2C%20color%3D%22%23d97706%22%2C%20alpha%3D0.86%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_spikes.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%221%20%C2%B7%20The%20observed%20population%20response%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22input%20neuron's%20preferred%20direction%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22observed%20spike%20count%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(-195%2C%20195)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_weight_colors%20%3D%20np.where(_weights%20%3E%3D%200%2C%20%22%2316846b%22%2C%20%22%23cf5c5c%22)%0A%20%20%20%20_ax_weights.bar(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_preferences%2C%20_weights%2C%20width%3D_bar_width%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_weight_colors%2C%20alpha%3D0.82%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_weights.axhline(0%2C%20color%3D%22%236b7280%22%2C%20linewidth%3D1.0)%0A%20%20%20%20_ax_weights.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%222%20%C2%B7%20Fixed%20weights%20for%20candidate%20%7B_candidate%3A%2B.0f%7D%C2%B0%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22input%20neuron's%20preferred%20direction%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22connection%20weight%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(-195%2C%20195)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(-2.0%2C%202.0)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_contribution_colors%20%3D%20np.where(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_contributions%20%3E%3D%200%2C%20%22%2316846b%22%2C%20%22%23cf5c5c%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_contributions.bar(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_preferences%2C%20_contributions%2C%20width%3D_bar_width%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_contribution_colors%2C%20alpha%3D0.84%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_contributions.axhline(0%2C%20color%3D%22%236b7280%22%2C%20linewidth%3D1.0)%0A%20%20%20%20_ax_contributions.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%223%20%C2%B7%20Spike%20%C3%97%20weight%3B%20add%20them%20%3D%20%7B_candidate_score%3A.1f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22input%20neuron's%20preferred%20direction%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22contribution%20to%20score%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(-195%2C%20195)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_ax_likelihood.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_candidate_grid%2C%20_relative%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20linewidth%3D2.9%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_likelihood.fill_between(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_candidate_grid%2C%200%2C%20_relative%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20alpha%3D0.18%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_likelihood.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_peak_direction%2C%20color%3D%22%23182338%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.4%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_likelihood.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_candidate%5D%2C%20%5B_selected_relative%5D%2C%20color%3D%22%23d97706%22%2C%20s%3D70%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22white%22%2C%20linewidth%3D1.0%2C%20zorder%3D4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22selected%20output%3A%20%7B_candidate%3A%2B.0f%7D%C2%B0%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_likelihood.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%224%20%C2%B7%20Population%20relative%20likelihood%20under%20the%20Poisson%20model%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22candidate%20direction%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22relative%20likelihood%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(-180%2C%20180)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(0%2C%201.08)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_likelihood.legend(frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D8.5)%0A%0A%20%20%20%20_angles%20%3D%20np.deg2rad(_preferences)%0A%20%20%20%20_ax_compass.bar(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_angles%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_counts%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3Dnp.deg2rad(22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23d97706%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.34%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22%23d97706%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D0.8%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_mean_angle%20%3D%20np.deg2rad(_vector_mean)%0A%20%20%20%20_mean_radius%20%3D%20max(1.0%2C%20float(np.max(_counts))%20*%201.15)%0A%20%20%20%20_ax_compass.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_mean_angle%2C%20_mean_angle%5D%2C%20%5B0%2C%20_mean_radius%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20linewidth%3D4.0%2C%20solid_capstyle%3D%22round%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_compass.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_mean_angle%5D%2C%20%5B_mean_radius%5D%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20s%3D70%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22white%22%2C%20linewidth%3D0.9%2C%20zorder%3D5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_compass.set_theta_zero_location(%22E%22)%0A%20%20%20%20_ax_compass.set_thetagrids(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0%2C%2090%2C%20180%2C%20270%5D%2C%20labels%3D%5B%220%C2%B0%22%2C%20%22%2B90%C2%B0%22%2C%20%22%C2%B1180%C2%B0%22%2C%20%22%E2%88%9290%C2%B0%22%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_compass.set_yticklabels(%5B%5D)%0A%20%20%20%20_ax_compass.set_ylim(0%2C%20_mean_radius%20*%201.08)%0A%20%20%20%20_ax_compass.set_title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%225%20%C2%B7%20Population%20vector%5Cndirection%20%3D%20%7B_vector_mean%3A%2B.1f%7D%C2%B0%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20va%3D%22bottom%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pad%3D18%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_compass.grid(alpha%3D0.18)%0A%0A%20%20%20%20_cartesian_axes%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_spikes%2C%20_ax_weights%2C%20_ax_contributions%2C%20_ax_likelihood%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20for%20_axis%20in%20_cartesian_axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.set_xticks(np.arange(-180%2C%20181%2C%2060))%0A%20%20%20%20clean_axes(_cartesian_axes)%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout(h_pad%3D2.5%2C%20w_pad%3D1.5)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20population_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20selected%20candidate%2C%20**%7B_candidate%3A%2B.0f%7D%C2%B0**%2C%20has%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20likelihood%20**%7B_selected_relative%3A.3g%7D**%20times%20the%20maximum.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20maximum-likelihood%20direction%20is%20**%7B_peak_direction%3A%2B.1f%7D%C2%B0**.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Neither%20number%20is%20the%20posterior%20probability%20of%20an%20exact%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20direction.%20The%20peak%20is%20fixed%20at%20one%20by%20the%20plotting%20scale%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20its%20height%20contains%20no%20information%20about%20response%20strength.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20circular%20panel%20assigns%20each%20spike%20a%20unit%20vector%20in%20its%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20neuron's%20preferred%20direction%20and%20sums%20the%20vectors.%20The%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20resulting%20direction%20is%20**%7B_vector_mean%3A%2B.1f%7D%C2%B0**.%20For%20cosine%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20weights%20and%20a%20constant%20expected%20total%2C%20this%20direction%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20also%20the%20likelihood%20maximum.%20The%20vector's%20length%20sets%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20amplitude%20of%20the%20cosine%20log-likelihood%20profile%3A%20a%20longer%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20resultant%20produces%20a%20narrower%20relative%20likelihood.%20Keeping%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20only%20its%20direction%20loses%20that%20concentration%20information%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20keeping%20both%20vector%20components%20retains%20it%20in%20this%20model.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20This%20equivalence%20depends%20on%20the%20tuning%20and%20noise%20model.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Heterogeneous%20tuning%20or%20a%20varying%20expected%20total%20need%20not%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20give%20a%20cosine%20log%20likelihood%2C%20so%20a%20population-vector%20angle%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20need%20not%20be%20the%20maximum-likelihood%20estimate.%20Negative%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cosine%20weights%20describe%20signed%20contributions%20to%20the%20score%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20not%20negative%20probabilities%20or%20negative%20output%20firing%20rates.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.Html(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22formula-card%22%3E%3Cstrong%3EReadout%20operation%3A%3C%2Fstrong%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20each%20candidate%2C%20add%20%3Cem%3Espike%20count%20%C3%97%20that%20candidate's%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20connection%20weight%3C%2Fem%3E%20across%20the%20input%20population.%20A%20bank%20of%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20candidates%20performs%20the%20same%20operation%20in%20parallel.%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%205.%20From%20a%20tuning%20curve%20to%20a%20single-neuron%20likelihood%0A%0A%20%20%20%20A%20tuning%20curve%20specifies%20the%20neuron's%20**expected%20spike%20count**%20at%20each%0A%20%20%20%20direction.%20If%20tuning%20is%20expressed%20as%20a%20firing%20rate%2C%20multiply%20it%20by%20the%0A%20%20%20%20observation%20duration%20to%20obtain%20this%20expected%20count.%20The%20mean%20alone%20does%0A%20%20%20%20not%20specify%20response%20probabilities%3A%20two%20count%20distributions%20with%20the%20same%0A%20%20%20%20mean%20can%20assign%20different%20probabilities%20to%20an%20observed%20count.%0A%0A%20%20%20%20Here%20we%20assume%20a%20Poisson%20count%20distribution.%20Its%20variance%20equals%20its%20mean%2C%0A%20%20%20%20so%20higher%20expected%20counts%20also%20have%20larger%20absolute%20standard%20deviations.%0A%20%20%20%20Once%20the%20mean%20is%20specified%2C%20all%20count%20probabilities%20are%20determined.%20This%0A%20%20%20%20example%20includes%20a%20small%20additive%20baseline%20in%20its%20mean%20tuning%20curve%20and%0A%20%20%20%20evaluates%20the%20full%20Poisson%20likelihood%2C%20without%20assuming%20cosine%20weights.%0A%0A%20%20%20%20The%20left%20panel%20varies%20direction%20and%20displays%20the%20predicted%20mean.%20Three%0A%20%20%20%20colored%20points%20select%20means%20for%20the%20count%20distributions%20in%20the%20middle%0A%20%20%20%20panel.%20Each%20middle%20curve%20is%20a%20probability%20mass%20function%20over%20nonnegative%0A%20%20%20%20integers%3B%20only%20counts%20up%20to%2020%20are%20shown.%20The%20vertical%20line%20fixes%20the%0A%20%20%20%20observed%20count.%20Its%20intersections%20with%20the%20three%20curves%20give%20that%20count's%0A%20%20%20%20probability%20under%20the%20three%20selected%20directions.%20Evaluating%20this%20probability%0A%20%20%20%20at%20every%20direction%20and%20dividing%20by%20its%20maximum%20gives%20the%20right%20panel.%0A%0A%20%20%20%20A%20useful%20visual%20comparison%20is%20between%20the%20observed-count%20horizontal%20line%0A%20%20%20%20in%20the%20first%20panel%20and%20the%20peaks%20in%20the%20last%20panel.%20For%20a%20positive%20count%0A%20%20%20%20within%20the%20tuning%20curve's%20mean%20range%2C%20the%20likelihood%20is%20largest%20where%20the%0A%20%20%20%20predicted%20mean%20equals%20the%20observed%20count.%20There%20are%20usually%20two%20such%0A%20%20%20%20directions%2C%20one%20on%20each%20flank.%20A%20single%20neuron's%20preferred%20direction%20is%0A%20%20%20%20therefore%20not%20generally%20the%20maximum-likelihood%20explanation%20of%20its%20response.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20poisson_observed%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D18%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Observed%20spike%20count%20n%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20poisson_width%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D4.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D2.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Tuning%20concentration%20(larger%20%3D%20narrower)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20poisson_controls%20%3D%20mo.vstack(%5Bpoisson_observed%2C%20poisson_width%5D%2C%20gap%3D0.5)%0A%20%20%20%20return%20poisson_controls%2C%20poisson_observed%2C%20poisson_width%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20circular_delta%2C%0A%20%20%20%20clean_axes%2C%0A%20%20%20%20direction_tuning%2C%0A%20%20%20%20math%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20poisson_controls%2C%0A%20%20%20%20poisson_observed%2C%0A%20%20%20%20poisson_width%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_directions%20%3D%20np.linspace(-180%2C%20180%2C%20721)%0A%20%20%20%20_preference%20%3D%2035.0%0A%20%20%20%20_means%20%3D%200.35%20%2B%2011.0%20*%20direction_tuning(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_directions%2C%20np.array(%5B_preference%5D)%2C%20kappa%3Dpoisson_width.value%0A%20%20%20%20)%5B%3A%2C%200%5D%0A%20%20%20%20_n_observed%20%3D%20poisson_observed.value%0A%0A%20%20%20%20def%20_poisson_probability(count%2C%20rate)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%3D%20np.asarray(count%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rate%20%3D%20np.asarray(rate%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_log_factorial%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bmath.lgamma(float(value)%20%2B%201.0)%20for%20value%20in%20count.flat%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20).reshape(count.shape)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.exp(count%20*%20np.log(rate)%20-%20rate%20-%20_log_factorial)%0A%0A%20%20%20%20_likelihood%20%3D%20_poisson_probability(_n_observed%2C%20_means)%0A%20%20%20%20_relative%20%3D%20_likelihood%20%2F%20np.max(_likelihood)%0A%20%20%20%20_min_mean%20%3D%200.35%20%2B%2011.0%20*%20np.exp(-2.0%20*%20poisson_width.value)%0A%20%20%20%20_max_mean%20%3D%2011.35%0A%20%20%20%20if%20_n_observed%20%3C%3D%20_min_mean%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_best_directions%20%3D%20np.array(%5Bfloat(circular_delta(_preference%20%2B%20180%2C%200))%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_count_note%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20observed%20count%20is%20below%20the%20smallest%20predicted%20mean.%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20maximum%20occurs%20opposite%20the%20preferred%20direction%2C%20where%20the%20mean%20is%20smallest.%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22For%20zero%20spikes%2C%20every%20candidate%20still%20has%20likelihood%20exp(%E2%88%92mean)%3B%20silence%20is%20informative.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20elif%20_n_observed%20%3E%3D%20_max_mean%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_best_directions%20%3D%20np.array(%5B_preference%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_count_note%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20observed%20count%20exceeds%20the%20largest%20predicted%20mean.%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20maximum%20occurs%20at%20the%20preferred%20direction%2C%20which%20predicts%20the%20largest%20count.%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22That%20candidate%20is%20only%20the%20best%20among%20the%20specified%20candidates%3B%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22a%20relative%20peak%20of%20one%20does%20not%20say%20the%20observed%20count%20was%20probable.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_offset%20%3D%20np.rad2deg(np.arccos(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.0%20%2B%20np.log((_n_observed%20-%200.35)%20%2F%2011.0)%20%2F%20poisson_width.value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_best_directions%20%3D%20circular_delta(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.array(%5B_preference%20-%20_offset%2C%20_preference%20%2B%20_offset%5D)%2C%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_count_note%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Two%20directions%20predict%20a%20mean%20equal%20to%20the%20observed%20count%20and%20have%20equal%20maximum%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22likelihood.%20The%20observation%20does%20not%20distinguish%20these%20two%20flanks%20of%20the%20tuning%20curve.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_best_text%20%3D%20%22%20and%20%22.join(f%22%7Bangle%3A%2B.1f%7D%C2%B0%22%20for%20angle%20in%20_best_directions)%0A%20%20%20%20_example_directions%20%3D%20np.array(%5B-75.0%2C%2035.0%2C%20120.0%5D)%0A%20%20%20%20_example_rates%20%3D%200.35%20%2B%2011.0%20*%20direction_tuning(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_example_directions%2C%20np.array(%5B_preference%5D)%2C%20kappa%3Dpoisson_width.value%0A%20%20%20%20)%5B%3A%2C%200%5D%0A%20%20%20%20_possible_counts%20%3D%20np.arange(0%2C%2021)%0A%20%20%20%20_example_colors%20%3D%20%5B%22%232563a8%22%2C%20%22%23d97706%22%2C%20%22%2316846b%22%5D%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%203%2C%20figsize%3D(12.7%2C%204.2))%0A%20%20%20%20_fig.patch.set_facecolor(%22white%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.plot(_directions%2C%20_means%2C%20color%3D%22%232563a8%22%2C%20linewidth%3D2.6)%0A%20%20%20%20for%20_direction%2C%20_rate%2C%20_color%20in%20zip(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_example_directions%2C%20_example_rates%2C%20_example_colors%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B0%5D.scatter(%5B_direction%5D%2C%20%5B_rate%5D%2C%20color%3D_color%2C%20s%3D55%2C%20zorder%3D4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B0%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_direction%2C%20_direction%5D%2C%20%5B0%2C%20_rate%5D%2C%20color%3D_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20linewidth%3D1.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%221%20%C2%B7%20Tuning%20predicts%20a%20mean%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22candidate%20direction%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22predicted%20mean%20spikes%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(-180%2C%20180)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(0%2C%20max(12.5%2C%20_n_observed%20%2B%201.5))%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.axhline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_n_observed%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22observed%20count%20%3D%20%7B_n_observed%7D%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.legend(frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D8)%0A%0A%20%20%20%20for%20_direction%2C%20_rate%2C%20_color%20in%20zip(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_example_directions%2C%20_example_rates%2C%20_example_colors%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_probabilities%20%3D%20_poisson_probability(_possible_counts%2C%20_rate)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B1%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_possible_counts%2C%20_probabilities%2C%20marker%3D%22o%22%2C%20markersize%3D3.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_color%2C%20linewidth%3D1.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22%7B_direction%3A%2B.0f%7D%C2%B0%20%E2%86%92%20mean%20%7B_rate%3A.1f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_n_observed%20%3C%3D%2020%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B1%5D.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_n_observed%5D%2C%20%5B_poisson_probability(_n_observed%2C%20_rate)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_color%2C%20s%3D70%2C%20edgecolor%3D%22white%22%2C%20linewidth%3D0.8%2C%20zorder%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_n_observed%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.5%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%222%20%C2%B7%20How%20probable%20is%20n%20%3D%20%7B_n_observed%7D%3F%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22possible%20observed%20count%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22probability%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(-0.5%2C%2020.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(0%2C%200.72)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.legend(frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D7.7)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.plot(_directions%2C%20_relative%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20linewidth%3D2.8)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.fill_between(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_directions%2C%200%2C%20_relative%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20alpha%3D0.18%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20for%20_best%20in%20_best_directions%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B2%5D.axvline(_best%2C%20color%3D%22%23182338%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.3)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%223%20%C2%B7%20Likelihood%20with%20n%20%3D%20%7B_n_observed%7D%20fixed%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22candidate%20direction%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22relative%20likelihood%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(-180%2C%20180)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(0%2C%201.08)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20for%20_axis%20in%20(_axes%5B0%5D%2C%20_axes%5B2%5D)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.set_xticks(np.arange(-180%2C%20181%2C%2090))%0A%20%20%20%20clean_axes(_axes)%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout(w_pad%3D1.5)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20poisson_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B_count_note%7D%20The%20maximizing%20direction(s)%20are%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**%7B_best_text%7D**.%20Other%20neurons%20with%20different%20preferences%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20can%20distinguish%20these%20candidates%20if%20their%20conditional%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20response%20distributions%20differ%20at%20those%20directions.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Keep%20the%20count%20fixed%20and%20change%20tuning%20concentration.%20This%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20changes%20the%20model's%20predicted%20means%20and%20therefore%20where%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20each%20candidate%20falls%20in%20the%20count%20distribution.%20It%20does%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20not%20change%20the%20observed%20data.%20The%20likelihood%20depends%20on%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20both%20the%20data%20and%20this%20assumed%20response%20model.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Poisson%20probability%20and%20log-likelihood%20terms%22%3A%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22For%20mean%20count%20%24f(%5Ctheta)%24%20and%20observed%20count%20%24n%24%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20Poisson%20probability%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24P(n%5Cmid%5Ctheta)%3Df(%5Ctheta)%5En%20e%5E%7B-f(%5Ctheta)%7D%2Fn!%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Its%20log%20contains%20a%20spike-dependent%20term%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24n%5Clog%20f(%5Ctheta)%24%2C%20the%20expected-count%20term%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24-f(%5Ctheta)%24%2C%20and%20%24-%5Clog(n!)%24.%20The%20last%20term%20is%20constant%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20across%20directions%20for%20a%20fixed%20observation.%20The%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20expected-count%20term%20generally%20is%20not.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%206.%20When%20a%20weighted%20sum%20represents%20the%20log%20likelihood%0A%0A%20%20%20%20For%20independent%20Poisson%20neurons%2C%20each%20candidate's%20population%20log%20likelihood%0A%20%20%20%20contains%20three%20terms%3A%20observed%20counts%20weighted%20by%20log%20expected%20counts%2C%0A%20%20%20%20minus%20the%20total%20expected%20count%2C%20minus%20a%20term%20involving%20the%20observed-count%0A%20%20%20%20factorials.%20The%20factorial%20term%20is%20constant%20across%20candidates%20on%20a%20fixed%0A%20%20%20%20trial.%20The%20total%20expected%20count%20can%20vary%20across%20candidates%20even%20though%20the%0A%20%20%20%20observed%20count%20vector%20is%20fixed.%0A%0A%20%20%20%20The%20expected-count%20term%20is%20part%20of%20the%20Poisson%20probability%20model%2C%20not%20a%0A%20%20%20%20separate%20correction%20applied%20only%20when%20too%20few%20spikes%20were%20observed.%20For%0A%20%20%20%20example%2C%20a%20silent%20neuron%20contributes%20minus%20its%20expected%20count%20to%20the%20log%0A%20%20%20%20likelihood.%20Directions%20predicting%20a%20large%20response%20from%20that%20silent%20neuron%0A%20%20%20%20are%20less%20likely%20than%20directions%20predicting%20a%20small%20response.%20Keeping%20only%0A%20%20%20%20observed-count%20contributions%20would%20miss%20this%20information.%0A%0A%20%20%20%20In%20an%20evenly%20sampled%20population%20of%20shifted%20copies%20of%20a%20smooth%20tuning%20curve%2C%0A%20%20%20%20the%20**total%20expected%20count%20is%20approximately%20constant%20across%20direction**.%0A%20%20%20%20Subtracting%20it%20shifts%20the%20entire%20log-likelihood%20curve%20vertically%20without%0A%20%20%20%20changing%20its%20shape.%20The%20weighted%20sum%20then%20represents%20the%20log%20likelihood%0A%20%20%20%20up%20to%20a%20candidate-independent%20offset.%20Exact%20constancy%20is%20the%20mathematical%0A%20%20%20%20condition%3B%20dense%20uniform%20coverage%20is%20one%20way%20to%20approximate%20it.%20Identical%0A%20%20%20%20tuning%20curves%20are%20not%20necessary%20if%20heterogeneous%20curves%20also%20sum%20to%20a%0A%20%20%20%20constant.%20A%20finite%20set%20of%20evenly%20spaced%20neurons%20need%20not%20give%20exact%20constancy.%0A%0A%20%20%20%20The%20first%20panel%20plots%20each%20neuron's%20mean%20tuning%20curve.%20The%20middle%20panel%0A%20%20%20%20sums%20those%20curves%20vertically%20at%20each%20direction%20and%20expresses%20the%20sum%20as%20a%0A%20%20%20%20percentage%20deviation%20from%20its%20mean.%20The%20final%20panel%20compares%20the%20full%0A%20%20%20%20Poisson%20likelihood%20with%20the%20exponentiated%20weighted%20score%20that%20omits%20the%0A%20%20%20%20expected-count%20term%3B%20each%20curve%20is%20scaled%20separately%20to%20peak%20at%20one.%0A%20%20%20%20Here%20the%20observations%20are%20randomly%20sampled%20Poisson%20counts.%20Changing%20the%0A%20%20%20%20trial%20number%20draws%20a%20new%20count%20vector%20at%20the%20selected%20generating%20direction.%0A%0A%20%20%20%20Select%20reduced%20coverage%20near%2090%C2%B0%20or%20unequal%20gains.%20The%20expected%20total%20now%0A%20%20%20%20depends%20on%20direction.%20The%20omitted%20term%20can%20alter%20both%20the%20maximum%20and%20the%0A%20%20%20%20profile%20around%20it.%20The%20orange%20line%20identifies%20the%20generating%20direction%2C%0A%20%20%20%20which%20need%20not%20equal%20either%20estimate%20on%20a%20noisy%20trial.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20coverage_mode%20%3D%20mo.ui.radio(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%5B%22uniform%20coverage%22%2C%20%22reduced%20coverage%20near%2090%C2%B0%22%2C%20%22unequal%20gains%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22uniform%20coverage%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20inline%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Population%20architecture%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20assumption_direction%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-150%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D150%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D15%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D30%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Direction%20that%20generated%20this%20trial%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20assumption_seed%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D30%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Trial%20number%20(changes%20the%20random%20spike%20pattern)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20assumption_controls%20%3D%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bcoverage_mode%2C%20assumption_direction%2C%20assumption_seed%5D%2C%20gap%3D0.5%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20assumption_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20assumption_direction%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20assumption_seed%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20coverage_mode%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20assumption_controls%2C%0A%20%20%20%20assumption_direction%2C%0A%20%20%20%20assumption_seed%2C%0A%20%20%20%20circular_delta%2C%0A%20%20%20%20clean_axes%2C%0A%20%20%20%20coverage_mode%2C%0A%20%20%20%20direction_tuning%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20relative_likelihood%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_preferences%20%3D%20np.arange(-170%2C%20171%2C%2020%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20_candidates%20%3D%20np.linspace(-180%2C%20180%2C%20721)%0A%20%20%20%20_gains%20%3D%20np.ones_like(_preferences)%0A%20%20%20%20if%20coverage_mode.value%20%3D%3D%20%22reduced%20coverage%20near%2090%C2%B0%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_gains%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.abs(circular_delta(_preferences%2C%2090.0))%20%3C%3D%2045.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%20%3D%200.08%0A%20%20%20%20elif%20coverage_mode.value%20%3D%3D%20%22unequal%20gains%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_gains%20%3D%201.0%20%2B%200.62%20*%20np.cos(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.deg2rad(circular_delta(_preferences%2C%20-65.0))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_base_tuning%20%3D%20direction_tuning(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_candidates%2C%20_preferences%2C%20kappa%3D2.15%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_rate_matrix%20%3D%208.5%20*%20_base_tuning%20*%20_gains%5Bnp.newaxis%2C%20%3A%5D%0A%20%20%20%20_true_rates%20%3D%208.5%20*%20direction_tuning(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.array(%5Bassumption_direction.value%5D)%2C%20_preferences%2C%20kappa%3D2.15%0A%20%20%20%20)%5B0%5D%20*%20_gains%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(assumption_seed.value)%0A%20%20%20%20_observed%20%3D%20_rng.poisson(_true_rates)%0A%0A%20%20%20%20_log_rates%20%3D%20np.log(np.maximum(_rate_matrix%2C%201e-12))%0A%20%20%20%20_weighted_spikes%20%3D%20_log_rates%20%40%20_observed%0A%20%20%20%20_population_budget%20%3D%20np.sum(_rate_matrix%2C%20axis%3D1)%0A%20%20%20%20_budget_deviation%20%3D%20100.0%20*%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_population_budget%20%2F%20np.mean(_population_budget)%20-%201.0%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20if%20np.max(np.abs(_budget_deviation))%20%3C%201e-8%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_budget_deviation%20%3D%20np.zeros_like(_budget_deviation)%0A%20%20%20%20_full_log%20%3D%20_weighted_spikes%20-%20_population_budget%0A%20%20%20%20_full_relative%20%3D%20relative_likelihood(_full_log)%0A%20%20%20%20_shortcut_relative%20%3D%20relative_likelihood(_weighted_spikes)%0A%20%20%20%20_full_peak%20%3D%20float(_candidates%5Bnp.argmax(_full_log)%5D)%0A%20%20%20%20_shortcut_peak%20%3D%20float(_candidates%5Bnp.argmax(_weighted_spikes)%5D)%0A%20%20%20%20_budget_range%20%3D%20float(np.ptp(_budget_deviation))%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%203%2C%20figsize%3D(13.0%2C%204.45))%0A%20%20%20%20_fig.patch.set_facecolor(%22white%22)%0A%20%20%20%20_tuning_colors%20%3D%20plt.get_cmap(%22twilight%22)(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.linspace(0.04%2C%200.96%2C%20len(_preferences))%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20for%20_index%2C%20(_preference%2C%20_color)%20in%20enumerate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zip(_preferences%2C%20_tuning_colors)%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B0%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_candidates%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_rate_matrix%5B%3A%2C%20_index%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.78%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Individual%20tuning%20curves%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22candidate%20direction%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22expected%20spikes%20per%20neuron%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(-180%2C%20180)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_candidates%2C%20_budget_deviation%2C%20color%3D%22%23d97706%22%2C%20linewidth%3D2.8%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.fill_between(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_candidates%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_budget_deviation%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23d97706%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.15%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.axhline(0.0%2C%20color%3D%22%236b7280%22%2C%20linewidth%3D1.0)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Expected%20total%3B%20range%20%3D%20%7B_budget_range%3A.1f%7D%25%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22candidate%20direction%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22deviation%20from%20mean%20(%25)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(-180%2C%20180)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_candidates%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_full_relative%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23182338%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D2.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22full%20Poisson%3A%20%7B_full_peak%3A%2B.0f%7D%C2%B0%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_candidates%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_shortcut_relative%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D2.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linestyle%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22expected-count%20term%20omitted%3A%20%7B_shortcut_peak%3A%2B.0f%7D%C2%B0%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20assumption_direction.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23d97706%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D1.4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22generating%20direction%3A%20%7Bassumption_direction.value%3A%2B.0f%7D%C2%B0%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Effect%20of%20the%20expected-count%20term%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22candidate%20direction%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22exponentiated%20score%20%2F%20its%20maximum%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(-180%2C%20180)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(0%2C%201.08)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.legend(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D7.6%2C%20loc%3D%22upper%20center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bbox_to_anchor%3D(0.5%2C%20-0.24)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20for%20_axis%20in%20_axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.set_xticks(np.arange(-180%2C%20181%2C%2090))%0A%20%20%20%20clean_axes(_axes)%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout(w_pad%3D1.45)%0A%0A%20%20%20%20_peak_gap%20%3D%20abs(float(circular_delta(_shortcut_peak%2C%20_full_peak)))%0A%20%20%20%20_conclusion%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20expected%20total%20is%20effectively%20constant%2C%20so%20the%20curves%20coincide%20to%20plotting%20precision.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20coverage_mode.value%20%3D%3D%20%22uniform%20coverage%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20f%22The%20expected%20total%20varies%20across%20directions.%20On%20this%20trial%20the%20two%20maxima%20differ%20by%20%7B_peak_gap%3A.1f%7D%C2%B0.%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20assumption_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**%7Bcoverage_mode.value.capitalize()%7D%3A**%20%7B_conclusion%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20solid%20curve%20is%20a%20relative%20likelihood%20under%20the%20stated%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20model.%20When%20the%20expected%20total%20varies%2C%20the%20dashed%20curve%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20an%20approximation%20and%20cannot%20be%20interpreted%20as%20that%20model's%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20relative%20likelihood.%20Unequal%20coverage%20does%20not%20prevent%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20likelihood%20decoding%3A%20a%20candidate-specific%20offset%20equal%20to%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20minus%20the%20expected%20total%20restores%20the%20full%20calculation.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20It%20does%20prevent%20the%20uncorrected%20weighted%20sum%20from%20being%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sufficient%20for%20this%20calculation.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20If%20stimulus%20strength%20multiplies%20all%20mean%20tuning%20curves%20by%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20a%20common%20positive%20gain%20without%20changing%20their%20shape%2C%20its%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20contribution%20to%20the%20count-weighted%20log%20term%20is%20independent%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20of%20direction.%20With%20a%20constant%20expected%20total%20across%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20directions%2C%20the%20same%20direction%20weights%20can%20then%20be%20used%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20across%20gains.%20More%20observed%20spikes%20can%20still%20sharpen%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20direction%20likelihood.%20These%20cancellations%20concern%20direction%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20at%20a%20given%20strength%3B%20they%20do%20not%20generally%20justify%20dropping%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20same%20terms%20when%20comparing%20strengths%20or%20signal%20presence.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22warn%22%20if%20coverage_mode.value%20!%3D%20%22uniform%20coverage%22%20else%20%22success%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Population%20log-likelihood%20terms%22%3A%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22For%20independent%20Poisson%20neurons%2C%20the%20direction-%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dependent%20part%20of%20the%20population%20log%20likelihood%20is%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Csum_i%20n_i%5Clog%20f_i(%5Ctheta)-%5Csum_i%20f_i(%5Ctheta).%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20first%20sum%20is%20observed%20spikes%20times%20fixed%20weights.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20second%20is%20the%20total%20expected%20population%20activity.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20If%20that%20second%20sum%20is%20flat%20across%20%24%5Ctheta%24%2C%20removing%20it%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20changes%20neither%20the%20curve's%20shape%20nor%20its%20maximum.%20For%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pure%20von%20Mises%20mean%20tuning%2C%20%24%5Clog%20f_i(%5Ctheta)%24%20reduces%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20up%20to%20direction-independent%20terms%2C%20to%20a%20cosine%20weight%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20scaled%20by%20the%20tuning%20concentration.%20An%20additive%20firing%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20baseline%20generally%20prevents%20that%20exact%20reduction.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%207.%20Correlation%20and%20the%20variability%20of%20a%20decision%20variable%0A%0A%20%20%20%20The%20product%20rule%20above%20requires%20conditional%20independence.%20Correlated%0A%20%20%20%20responses%20generally%20require%20a%20joint%20response%20model%3A%20multiplying%20the%0A%20%20%20%20individual-neuron%20probabilities%20does%20not%20recover%20their%20joint%20probability.%0A%20%20%20%20Even%20zero%20pairwise%20correlation%20is%20insufficient%20to%20establish%20independence%0A%20%20%20%20in%20general.%20In%20the%20jointly%20Gaussian%20example%20here%2C%20zero%20correlation%20does%0A%20%20%20%20imply%20independence.%0A%0A%20%20%20%20This%20figure%20uses%20two%20continuous%20Gaussian%20responses%2C%20not%20integer%20Poisson%0A%20%20%20%20spike%20counts.%20For%20each%20stimulus%20class%2C%20the%20mean%20of%20each%20response%20and%20its%0A%20%20%20%20variance%20(4%20response%20units%20squared)%20stay%20fixed.%20The%20correlation%20slider%0A%20%20%20%20changes%20only%20the%20covariance%20within%20each%20class.%20Thus%20it%20controls%20**noise%0A%20%20%20%20correlation%20conditional%20on%20stimulus**%2C%20not%20correlation%20induced%20by%20pooling%0A%20%20%20%20trials%20with%20different%20stimuli.%20Both%20classes%20have%20the%20same%20covariance.%0A%0A%20%20%20%20Each%20point%20in%20the%20left%20panel%20is%20one%20pair%20of%20responses%20on%20a%20simulated%20trial.%0A%20%20%20%20Positive%20correlation%20elongates%20each%20cloud%20along%20the%20positive%20diagonal%3B%0A%20%20%20%20negative%20correlation%20elongates%20it%20along%20the%20opposite%20diagonal.%20The%20middle%0A%20%20%20%20panel%20projects%20the%20same%20trials%20onto%20a%20difference%20or%20sum%20of%20responses.%20The%0A%20%20%20%20overlap%20after%20projection%20determines%20error%20probability%20at%20the%20dashed%0A%20%20%20%20threshold.%20The%20final%20panel%20gives%20the%20analytically%20predicted%20accuracy%2C%0A%20%20%20%20assuming%20equal%20class%20probabilities%20and%20equal%20costs%20for%20the%20two%20errors.%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20opponent%20example%2C%20the%20class%20means%20differ%20along%20the%20difference%0A%20%20%20%20direction.%20Positive%20common%20fluctuations%20mostly%20run%20parallel%20to%20the%20decision%0A%20%20%20%20boundary%20and%20partly%20cancel%20in%20the%20subtraction.%20In%20the%20sum%20example%2C%20the%0A%20%20%20%20means%20differ%20along%20the%20positive%20diagonal%2C%20so%20those%20same%20fluctuations%0A%20%20%20%20increase%20variability%20along%20the%20readout.%20Correlation's%20effect%20depends%20on%0A%20%20%20%20its%20orientation%20relative%20to%20the%20stimulus-dependent%20mean%20difference.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20correlation_code%20%3D%20mo.ui.radio(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%5B%22opponent%3A%20neuron%201%20%E2%88%92%20neuron%202%22%2C%20%22shared%3A%20neuron%201%20%2B%20neuron%202%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22opponent%3A%20neuron%201%20%E2%88%92%20neuron%202%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20inline%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Readout%20geometry%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20correlation_strength%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-0.85%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D0.85%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.45%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Within-class%20response%20correlation%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20correlation_seed%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Example%20trial%20cloud%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20correlation_controls%20%3D%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bcorrelation_code%2C%20correlation_strength%2C%20correlation_seed%5D%2C%20gap%3D0.5%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20correlation_code%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20correlation_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20correlation_seed%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20correlation_strength%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20clean_axes%2C%0A%20%20%20%20correlation_code%2C%0A%20%20%20%20correlation_controls%2C%0A%20%20%20%20correlation_seed%2C%0A%20%20%20%20correlation_strength%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20normal%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_opponent%20%3D%20correlation_code.value.startswith(%22opponent%22)%0A%20%20%20%20if%20_opponent%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mean_a%20%3D%20np.array(%5B10.0%2C%206.0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mean_b%20%3D%20np.array(%5B6.0%2C%2010.0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_weights%20%3D%20np.array(%5B1.0%2C%20-1.0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_readout_name%20%3D%20%22difference%20r%E2%82%81%20%E2%88%92%20r%E2%82%82%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mean_a%20%3D%20np.array(%5B10.0%2C%2010.0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mean_b%20%3D%20np.array(%5B6.0%2C%206.0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_weights%20%3D%20np.array(%5B1.0%2C%201.0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_readout_name%20%3D%20%22sum%20r%E2%82%81%20%2B%20r%E2%82%82%22%0A%0A%20%20%20%20_rho%20%3D%20correlation_strength.value%0A%20%20%20%20_single_variance%20%3D%204.0%0A%20%20%20%20_covariance%20%3D%20_single_variance%20*%20np.array(%5B%5B1.0%2C%20_rho%5D%2C%20%5B_rho%2C%201.0%5D%5D)%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(correlation_seed.value)%0A%20%20%20%20_trials_a%20%3D%20_rng.multivariate_normal(_mean_a%2C%20_covariance%2C%20size%3D900)%0A%20%20%20%20_trials_b%20%3D%20_rng.multivariate_normal(_mean_b%2C%20_covariance%2C%20size%3D900)%0A%20%20%20%20_scores_a%20%3D%20_trials_a%20%40%20_weights%0A%20%20%20%20_scores_b%20%3D%20_trials_b%20%40%20_weights%0A%20%20%20%20_mean_score_a%20%3D%20float(_mean_a%20%40%20_weights)%0A%20%20%20%20_mean_score_b%20%3D%20float(_mean_b%20%40%20_weights)%0A%20%20%20%20_threshold%20%3D%200.5%20*%20(_mean_score_a%20%2B%20_mean_score_b)%0A%20%20%20%20_score_variance%20%3D%20float(_weights%20%40%20_covariance%20%40%20_weights)%0A%20%20%20%20_score_sd%20%3D%20np.sqrt(_score_variance)%0A%20%20%20%20_separation%20%3D%20abs(_mean_score_a%20-%20_mean_score_b)%0A%20%20%20%20_accuracy%20%3D%20normal.cdf(_separation%20%2F%20(2.0%20*%20_score_sd))%0A%0A%20%20%20%20_rho_grid%20%3D%20np.linspace(-0.85%2C%200.85%2C%20241)%0A%20%20%20%20_variance_curve%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_weights%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%40%20(_single_variance%20*%20np.array(%5B%5B1.0%2C%20r%5D%2C%20%5Br%2C%201.0%5D%5D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%40%20_weights%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20r%20in%20_rho_grid%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_accuracy_curve%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bnormal.cdf(_separation%20%2F%20(2.0%20*%20np.sqrt(v)))%20for%20v%20in%20_variance_curve%5D%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%203%2C%20figsize%3D(13.0%2C%204.2))%0A%20%20%20%20_fig.patch.set_facecolor(%22white%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_trials_a%5B%3A450%2C%200%5D%2C%20_trials_a%5B%3A450%2C%201%5D%2C%20s%3D12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%232563a8%22%2C%20alpha%3D0.28%2C%20label%3D%22stimulus%20A%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_trials_b%5B%3A450%2C%200%5D%2C%20_trials_b%5B%3A450%2C%201%5D%2C%20s%3D12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23d97706%22%2C%20alpha%3D0.28%2C%20label%3D%22stimulus%20B%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_mean_a%5B0%5D%2C%20_mean_b%5B0%5D%5D%2C%20%5B_mean_a%5B1%5D%2C%20_mean_b%5B1%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D85%2C%20color%3D%5B%22%232563a8%22%2C%20%22%23d97706%22%5D%2C%20edgecolor%3D%22white%22%2C%20zorder%3D5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_line%20%3D%20np.linspace(0%2C%2016%2C%20100)%0A%20%20%20%20if%20_opponent%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B0%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_line%2C%20_line%20-%20_threshold%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20label%3D%22decision%20boundary%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B0%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_line%2C%20_threshold%20-%20_line%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20label%3D%22decision%20boundary%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Joint%20responses%20at%20correlation%20%7B_rho%3A%2B.2f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22neuron%201%20response%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22neuron%202%20response%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(0%2C%2016)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(0%2C%2016)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set_aspect(%22equal%22%2C%20adjustable%3D%22box%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.legend(frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D7.8%2C%20loc%3D%22upper%20left%22)%0A%0A%20%20%20%20_score_min%20%3D%20min(np.min(_scores_a)%2C%20np.min(_scores_b))%0A%20%20%20%20_score_max%20%3D%20max(np.max(_scores_a)%2C%20np.max(_scores_b))%0A%20%20%20%20_bins%20%3D%20np.linspace(_score_min%2C%20_score_max%2C%2038)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.hist(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_scores_a%2C%20bins%3D_bins%2C%20density%3DTrue%2C%20color%3D%22%232563a8%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.50%2C%20label%3D%22stimulus%20A%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.hist(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_scores_b%2C%20bins%3D_bins%2C%20density%3DTrue%2C%20color%3D%22%23d97706%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.50%2C%20label%3D%22stimulus%20B%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_threshold%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.8%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Project%20onto%20the%20%7B_readout_name%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22pooled%20decision%20variable%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22density%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.legend(frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D8)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rho_grid%2C%20_accuracy_curve%2C%20color%3D%22%23182338%22%2C%20linewidth%3D2.7%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_rho%5D%2C%20%5B_accuracy%5D%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20s%3D75%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22white%22%2C%20linewidth%3D0.8%2C%20zorder%3D5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.axhline(0.5%2C%20color%3D%22%239ca3af%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20linewidth%3D1.1)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Predicted%20classification%20accuracy%3A%20%7B_accuracy%3A.1%25%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22pairwise%20correlation%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22accuracy%20with%20the%20specified%20readout%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(-0.85%2C%200.85)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(0.48%2C%201.01)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20clean_axes(_axes)%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout(w_pad%3D1.5)%0A%0A%20%20%20%20if%20abs(_rho)%20%3C%201e-10%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_effect%20%3D%20%22At%20zero%20correlation%2C%20the%20variance%20of%20either%20sum%20or%20difference%20is%208.%22%0A%20%20%20%20elif%20_rho%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_effect%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Positive%20correlated%20fluctuations%20partly%20cancel%20in%20the%20subtraction%2C%20narrowing%20the%20decision%20variable.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_opponent%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%20%22Positive%20correlated%20fluctuations%20add%20together%2C%20widening%20the%20decision%20variable.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_effect%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Negative%20correlation%20widens%20a%20difference%20readout.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_opponent%20else%20%22Negative%20correlation%20partly%20cancels%20in%20a%20sum%20readout.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20correlation_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20two%20individual%20neurons%20have%20unchanged%20means%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20variances%3B%20only%20their%20trial-to-trial%20relationship%20changed.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20pooled%20variance%20is%20now%20**%7B_score_variance%3A.2f%7D**%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20predicted%20accuracy%20is%20**%7B_accuracy%3A.1%25%7D**.%20%7B_effect%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20For%20these%20symmetric%20Gaussian%20examples%2C%20the%20selected%20sum%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20or%20difference%20remains%20the%20optimal%20linear%20readout%20direction%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20as%20correlation%20changes.%20Only%20its%20scale%20in%20the%20exact%20log%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20likelihood%20ratio%20changes.%20In%20a%20general%20population%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20covariance%20can%20also%20change%20the%20optimal%20relative%20weights.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20result%20here%20therefore%20illustrates%20correlation%20geometry%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20not%20a%20general%20rule%20that%20fixed%20weights%20are%20optimal.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20In%20the%20%5Bpaper's%20supplement%5D(https%3A%2F%2Fwww.cns.nyu.edu%2F~tony%2FPublications%2Fjazayeri-movshon-2006-supp.pdf)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20decoder%20weights%20are%20derived%20without%20accounting%20for%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20correlations%2C%20while%20predicted%20behavioral%20variability%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20includes%20a%20specified%20correlation%20structure.%20Computing%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20distribution%20of%20a%20decoder's%20output%20and%20constructing%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20correlation-aware%20decoder%20are%20separate%20operations.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%208.%20Detection%2C%20estimation%2C%20and%20discrimination%0A%0A%20%20%20%20A%20direction%20likelihood%20compares%20candidate%20directions%20within%20a%20specified%0A%20%20%20%20signal%20model.%20**Detection%20also%20requires%20a%20signal-absent%20model.**%20The%0A%20%20%20%20statistically%20relevant%20quantity%20for%20two%20specified%20hypotheses%20is%20the%0A%20%20%20%20likelihood%20ratio%3A%20the%20probability%20of%20the%20observed%20response%20under%20one%0A%20%20%20%20hypothesis%20divided%20by%20its%20probability%20under%20the%20other.%20The%20height%20of%20a%0A%20%20%20%20likelihood%20curve%20that%20was%20separately%20rescaled%20on%20each%20trial%20is%20insufficient%0A%20%20%20%20for%20this%20comparison.%0A%0A%20%20%20%20Here%20the%20signal%20model%20has%2018%20independent%20Poisson%20neurons%20with%20von%20Mises%0A%20%20%20%20mean%20tuning%20(peak%20expected%20count%208%2C%20concentration%201.9).%20The%20noise%20model%0A%20%20%20%20gives%20every%20neuron%20the%20same%20expected%20count%2C%20chosen%20to%20match%20the%20population's%0A%20%20%20%20average%20expected%20total%20under%20the%20signal%20model.%20This%20makes%20response%20pattern%2C%0A%20%20%20%20rather%20than%20simply%20total%20count%2C%20informative%20about%20signal%20presence.%20Every%0A%20%20%20%20point%20on%20the%20purple%20curve%20is%20the%20log%20likelihood%20ratio%20for%20a%20signal%20at%20that%0A%20%20%20%20direction%20versus%20this%20*same*%20noise%20model.%20Expected-count%20terms%20are%20retained.%0A%0A%20%20%20%20The%20trial%20controls%20generate%20a%20single%20count%20vector.%20At%20signal%20fraction%20zero%2C%0A%20%20%20%20it%20is%20sampled%20from%20the%20noise%20model%3B%20at%20one%2C%20from%20the%20signal%20model%20at%20the%0A%20%20%20%20selected%20direction.%20Intermediate%20fractions%20interpolate%20the%20generating%0A%20%20%20%20means%2C%20while%20the%20decoder%20continues%20to%20compare%20the%20two%20fixed%20endpoint%0A%20%20%20%20models.%20The%20same%20observed%20vector%20is%20used%20in%20all%20three%20panels.%0A%0A%20%20%20%20Detection%20tests%20the%20specified%20direction%200%C2%B0%20against%20noise.%20Estimation%0A%20%20%20%20selects%20the%20maximum%20over%20all%20signal%20directions.%20Discrimination%20compares%0A%20%20%20%20only%20the%20two%20specified%20directions.%20Subtracting%20their%20plotted%20values%0A%20%20%20%20cancels%20the%20common%20noise%20reference%20and%20gives%20the%20log%20likelihood%20ratio%0A%20%20%20%20between%20the%20two%20signal%20alternatives.%20The%20reference%20therefore%20supports%0A%20%20%20%20detection%20while%20preserving%20all%20within-signal%20direction%20comparisons.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20task_direction%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-120%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D120%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D30%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Generating%20direction%20of%20the%20signal%20component%20(degrees)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20task_separation%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D180%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Separation%20of%20the%20two%20known%20alternatives%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20detection_criterion%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-20.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D60.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D5.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Detection%20criterion%3A%20log%20likelihood%20ratio%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20task_signal_fraction%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.0%2C%20stop%3D1.0%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D1.0%2C%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Generating%20signal%20fraction%20(0%20%3D%20noise%20model%2C%201%20%3D%20signal%20model)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20task_seed%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1%2C%20stop%3D30%2C%20step%3D1%2C%20value%3D4%2C%20debounce%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%20full_width%3DTrue%2C%20label%3D%22Trial%20number%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20task_controls%20%3D%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Btask_direction%2C%20task_signal_fraction%2C%20task_seed%2C%20task_separation%2C%20detection_criterion%5D%2C%20gap%3D0.5%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20detection_criterion%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20task_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20task_direction%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20task_seed%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20task_separation%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20task_signal_fraction%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20clean_axes%2C%0A%20%20%20%20detection_criterion%2C%0A%20%20%20%20direction_tuning%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20task_controls%2C%0A%20%20%20%20task_direction%2C%0A%20%20%20%20task_seed%2C%0A%20%20%20%20task_separation%2C%0A%20%20%20%20task_signal_fraction%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_preferences%20%3D%20np.arange(-180%2C%20180%2C%2020%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20_grid%20%3D%20np.linspace(-180%2C%20180%2C%20721)%0A%20%20%20%20_signal_means%20%3D%208.0%20*%20direction_tuning(_grid%2C%20_preferences%2C%20kappa%3D1.9)%0A%20%20%20%20%23%20Use%20one%20full%20period%20without%20its%20duplicated%20endpoint%20for%20the%20mean.%0A%20%20%20%20_noise_means%20%3D%20np.full(len(_preferences)%2C%20_signal_means%5B%3A-1%5D.mean())%0A%20%20%20%20_generating_signal_means%20%3D%208.0%20*%20direction_tuning(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.array(%5Btask_direction.value%5D)%2C%20_preferences%2C%20kappa%3D1.9%0A%20%20%20%20)%5B0%5D%0A%20%20%20%20_trial_means%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20task_signal_fraction.value%20*%20_generating_signal_means%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20(1.0%20-%20task_signal_fraction.value)%20*%20_noise_means%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_counts%20%3D%20np.random.default_rng(task_seed.value).poisson(_trial_means)%0A%20%20%20%20%23%20Count-factorial%20terms%20cancel%20between%20these%20two%20models%20for%20the%20same%20data.%0A%20%20%20%20_log_likelihood%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.log(_signal_means%20%2F%20_noise_means)%20%40%20_counts%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20_signal_means.sum(axis%3D1)%20%2B%20_noise_means.sum()%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_peak%20%3D%20float(_grid%5Bnp.argmax(_log_likelihood)%5D)%0A%20%20%20%20_known_direction%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_known_value%20%3D%20float(np.interp(_known_direction%2C%20_grid%2C%20_log_likelihood))%0A%20%20%20%20_detect%20%3D%20_known_value%20%3E%3D%20detection_criterion.value%0A%20%20%20%20_left_alt%20%3D%20-task_separation.value%20%2F%202.0%0A%20%20%20%20_right_alt%20%3D%20task_separation.value%20%2F%202.0%0A%20%20%20%20_left_value%20%3D%20float(np.interp(_left_alt%2C%20_grid%2C%20_log_likelihood))%0A%20%20%20%20_right_value%20%3D%20float(np.interp(_right_alt%2C%20_grid%2C%20_log_likelihood))%0A%20%20%20%20_difference%20%3D%20_right_value%20-%20_left_value%0A%20%20%20%20_choice%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22equal%20likelihoods%22%20if%20np.isclose(_difference%2C%200%2C%20atol%3D1e-10)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20f%22choose%20%7B(_right_alt%20if%20_difference%20%3E%200%20else%20_left_alt)%3A%2B.0f%7D%C2%B0%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_lower_limit%20%3D%20min(-5.0%2C%20float(np.min(_log_likelihood))%20-%205.0%2C%20detection_criterion.value%20-%205.0)%0A%20%20%20%20_upper_limit%20%3D%20max(5.0%2C%20float(np.max(_log_likelihood))%20%2B%205.0%2C%20detection_criterion.value%20%2B%205.0)%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%203%2C%20figsize%3D(13.0%2C%204.0)%2C%20sharey%3DTrue)%0A%20%20%20%20_fig.patch.set_facecolor(%22white%22)%0A%20%20%20%20for%20_axis%20in%20_axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.plot(_grid%2C%20_log_likelihood%2C%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20linewidth%3D2.6)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.fill_between(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_grid%2C%20_lower_limit%2C%20_log_likelihood%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%237c3aed%22%2C%20alpha%3D0.12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22candidate%20direction%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(-180%2C%20180)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(_lower_limit%2C%20_upper_limit)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.set_xticks(np.arange(-180%2C%20181%2C%2090))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.axhline(0%2C%20color%3D%22%239ca3af%22%2C%20linewidth%3D0.9%2C%20linestyle%3D%22%3A%22)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.axhline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20detection_criterion.value%2C%20color%3D%22%23d97706%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D1.5%2C%20label%3D%22criterion%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.scatter(%5B0%5D%2C%20%5B_known_value%5D%2C%20color%3D%22%23182338%22%2C%20s%3D65%2C%20zorder%3D4)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%220%C2%B0%20detection%3A%20%7B'signal'%20if%20_detect%20else%20'noise'%7D%20response%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22log%20likelihood%20ratio%3A%20signal%20%2F%20noise%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.legend(frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D8)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.axvline(_peak%2C%20color%3D%22%23182338%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.4)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_peak%5D%2C%20%5Bnp.max(_log_likelihood)%5D%2C%20color%3D%22%23182338%22%2C%20s%3D65%2C%20zorder%3D4%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.set(title%3Df%22Direction%20estimate%3A%20%7B_peak%3A%2B.0f%7D%C2%B0%22)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_left_alt%2C%20_right_alt%5D%2C%20%5B_left_value%2C%20_right_value%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%5B%22%232563a8%22%2C%20%22%23d97706%22%5D%2C%20s%3D%5B65%2C%2065%5D%2C%20zorder%3D4%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.vlines(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_left_alt%2C%20_right_alt%5D%2C%200%2C%20%5B_left_value%2C%20_right_value%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20colors%3D%5B%22%232563a8%22%2C%20%22%23d97706%22%5D%2C%20linestyles%3D%22%3A%22%2C%20linewidth%3D1.4%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.set(title%3Df%22Discrimination%3A%20%7B_choice%7D%22)%0A%20%20%20%20clean_axes(_axes)%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout(w_pad%3D1.5)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20task_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Detection%3A**%20at%200%C2%B0%2C%20the%20log%20likelihood%20ratio%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**%7B_known_value%3A.2f%7D**%2C%20compared%20with%20criterion%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**%7Bdetection_criterion.value%3A.2f%7D**.%20Zero%20means%20equal%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20likelihood%20under%20the%20specified%20signal%20and%20noise%20hypotheses.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20zero%20criterion%20minimizes%20classification%20error%20for%20equal%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20prior%20probabilities%20and%20equal%20error%20costs.%20Other%20priors%20or%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20costs%20generally%20require%20a%20different%20criterion.%20Detecting%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20a%20signal%20of%20*unknown*%20direction%20is%20a%20different%20composite%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hypothesis%20problem%3B%20it%20requires%20specifying%20how%20directions%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20are%20combined%2C%20rather%20than%20simply%20reusing%20the%200%C2%B0%20test.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Estimation%3A**%20the%20maximum-likelihood%20direction%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**%7B_peak%3A%2B.0f%7D%C2%B0**.%20This%20rule%20always%20returns%20a%20direction%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20including%20on%20noise-only%20trials%2C%20because%20it%20searches%20only%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20signal%20directions.%20It%20is%20not%20evidence%20by%20itself%20that%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20signal%20was%20present.%20A%20Bayesian%20estimate%20additionally%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20depends%20on%20the%20prior%20and%20the%20loss%20assigned%20to%20estimation%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20errors%3B%20for%20example%2C%20squared%20error%20favors%20a%20posterior%20mean%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20in%20a%20noncircular%20scalar%20problem.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Discrimination%3A**%20the%20alternatives%20are%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**%7B_left_alt%3A%2B.0f%7D%C2%B0**%20and%20**%7B_right_alt%3A%2B.0f%7D%C2%B0**.%20The%20right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20minus%20left%20log%20likelihood%20is%20**%7B_difference%3A.2f%7D**.%20Its%20sign%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selects%20the%20larger%20likelihood%20under%20equal%20priors%20and%20equal%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20error%20costs.%20Two%20points%20on%20a%20sharply%20peaked%20curve%20can%20both%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20have%20low%20values%20if%20neither%20specified%20alternative%20is%20near%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20estimate.%20Forced%20choice%20still%20compares%20those%20two%20points.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%209.%20What%20the%20representation%20contains%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20%5Bpaper%5D(https%3A%2F%2Fwww.cns.nyu.edu%2F~tony%2FPublications%2Fjazayeri-movshon-2006.pdf)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20proposes%20a%20feedforward%20population%20transformation%20whose%20output%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20represents%20a%20log-likelihood%20function%20under%20specified%20encoding%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20assumptions.%20An%20output%20unit%20corresponds%20to%20a%20candidate%20stimulus%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20its%20weights%20depend%20on%20the%20input%20neurons'%20tuning%20and%20response%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20statistics.%20This%20supplies%20a%20shared%20representation%20for%20several%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20perceptual%20tasks.%20It%20is%20a%20model%20of%20a%20possible%20computation%2C%20rather%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20than%20direct%20evidence%20that%20recorded%20neurons%20explicitly%20implement%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20each%20step%20shown%20here.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20examples%20distinguish%20several%20operations%20that%20can%20preserve%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20same%20maximum%20while%20retaining%20different%20statistical%20information%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Operation%20%7C%20What%20is%20preserved%2C%20and%20what%20changes%3F%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Multiply%20a%20likelihood%20by%20a%20positive%20constant%20independent%20of%20stimulus%20%7C%20All%20likelihood%20ratios%20and%20the%20maximum%20are%20preserved.%20Absolute%20scale%20changes.%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Add%20a%20constant%20independent%20of%20stimulus%20to%20log%20likelihood%20%7C%20All%20log-likelihood%20differences%20and%20the%20maximum%20are%20preserved.%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Multiply%20log%20likelihood%20by%20a%20positive%20constant%20%7C%20The%20maximum%20is%20preserved%2C%20but%20likelihood%20ratios%20and%20concentration%20change.%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Keep%20only%20the%20maximizing%20stimulus%20%7C%20The%20estimate%20is%20retained%2C%20but%20the%20rest%20of%20the%20profile%20is%20discarded.%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Multiply%20by%20a%20prior%20and%20normalize%20%7C%20This%20constructs%20a%20posterior%3B%20relative%20probabilities%20and%20the%20maximum%20can%20change.%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20candidate-independent%20factor%20may%20depend%20on%20the%20observed%20response.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20It%20can%20be%20removed%20when%20comparing%20directions%20within%20that%20trial%2C%20but%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20its%20removal%20does%20not%20automatically%20permit%20comparing%20heights%20across%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20trials%20or%20between%20signal%20and%20noise%20models.%20Which%20terms%20may%20be%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20removed%20depends%20on%20the%20hypotheses%20being%20compared.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20population%20examples%20use%20exact%20Poisson%20probabilities%2C%20not%20just%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20a%20qualitative%20assumption%20of%20variable%20firing.%20Other%20response%20models%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20can%20also%20admit%20linear%20log-likelihood%20readouts%2C%20but%20this%20requires%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20checking%20the%20form%20of%20their%20stimulus-dependent%20terms.%20The%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bsupplement%5D(https%3A%2F%2Fwww.cns.nyu.edu%2F~tony%2FPublications%2Fjazayeri-movshon-2006-supp.pdf)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20discusses%20extensions%20beyond%20Poisson%20statistics.%20Approximate%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mean%E2%80%93variance%20proportionality%20alone%20is%20insufficient%20to%20establish%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20that%20log%20tuning%20curves%20give%20the%20appropriate%20weights.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20When%20examining%20a%20new%20decoder%2C%20first%20identify%20the%20response%20model%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20observation%20held%20fixed%2C%20and%20the%20candidate%20stimuli%20on%20the%20axis.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Then%20determine%20whether%20its%20output%20is%20a%20log%20likelihood%2C%20an%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20approximation%20to%20one%2C%20or%20a%20decision%20score.%20Finally%20specify%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20prior%20and%20decision%20objective%20before%20calling%20the%20downstream%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20behavior%20optimal.%20These%20distinctions%20make%20the%20visual%20profile%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20quantitatively%20interpretable.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Reference.**%20M.%20Jazayeri%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20J.%20A.%20Movshon%2C%20%E2%80%9COptimal%20representation%20of%20sensory%20information%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20by%20neural%20populations%2C%E2%80%9D%20*Nature%20Neuroscience*%209%2C%20690%E2%80%93696%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(2006)%2C%20%5Bpaper%5D(https%3A%2F%2Fwww.cns.nyu.edu%2F~tony%2FPublications%2Fjazayeri-movshon-2006.pdf)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20and%20%5Bsupplement%5D(https%3A%2F%2Fwww.cns.nyu.edu%2F~tony%2FPublications%2Fjazayeri-movshon-2006-supp.pdf).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20categorical%2C%20Gaussian%2C%20and%20Poisson%20examples%20here%20are%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20separate%20teaching%20models.%20Their%20parameters%20are%20chosen%20for%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20illustration%2C%20not%20estimated%20from%20the%20paper's%20experiments.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D0.8%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A